ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Скалярная задача со спектральным параметром в условии сопряжения из "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции Спектральные свойства дифракции " Как мы уже отмечали в 30, неоднородность переведена здесь из правой части уравнения Гельмгольца в правую часть граничного условия вычитанием из решения падающего поля. При этом гладкость функции g в (36.2) определяется гладкостью исходной правой части / уравнения Гельмгольца вблизи 5. Аналогичное замечание следует иметь в виду и при чтении 37 и 40 мы уже не будем его повторять. Отметим еще, что выражение % а х) может быть комплексным вместе с X. [c.348] Пусть и У — внутренняя и внешняя области, на которые 5 делит Н . Через 0 х — у) будем, как и в предыдущих параграфах, обозначать функцию Грина уравнения (36.1) с условием излучения на бесконечности, т. е. [c.348] Смысл этой эквивалентности мы уточним в теореме 2. [c.349] Следствие. Корневые функции оператора А принадлежат С (5). Если О — собственное значение оператора А, то Кег Л = 2л (0) конечномерно. [c.350] В частности, пространство решений задачи (36.11) и Кег Л имеют одинаковую размерность. [c.351] Смысл оценок, которые мы привели, состоит в том, что если функция аппроксимирует в Я5(5), т. е. 11 —115.5- 0 при - оо, а и,— решение задачи с дд вместо , то ид аппроксимирует и в смысле стремления к О левых частей в (36.13) — (36.14) после подстановки в них и —ид вместо и. [c.351] Доказательство теоремы 2. Немного увеличив, если потребуется. Я, мы можем предположить. [c.351] задача в Е, эллиптична, и мы можем воспользоваться сказанным в п. 4 34. Легко видеть, что при Ае2(Л) для нее имеет место единственность если бы при g = 0 задача имела нетривиальное решение, то оно было бы бесконечно гладким в V и УЦ (ср. 2 в п. 4 34) и по второй формуле (36.6) давало бы нетривиальное решение уравнения (36.7) с g = 0. [c.353] Это сразу дает нам все утверждения первого абзаца формулировки теоремы 2 (при Im О в оценке (36.13) можно устремить R к оо). Остальные утверждения очевидны в частности, левые части в (36.14) легко оцениваются через ЦфИх. о при помощи первой из формул (36.6) и неравенства Коши — Буняковского, а ИфЦ .о оценивается через llgils, о (см. (31.18)). [c.353] От условия s l/2 можно освободиться, используя результаты из [12] мы не будем здесь на этом останавливаться. [c.353] Соответствующая норма ф, ф) - эквивалентна обычной норме II ф 115, о в Ь 8). Под А будем понимать оператор, сопряженный к А относительно нового скалярного произведения. Очевидно, что Л = Л отсюда вытекают следствия, указанные в п. 6 31 (8° и 9°). [c.354] Теперь мы можем применить к оператору Л при знаки базисности, изложенные в пп. 1 — 3 35. По ложим 5 = ЯД5). [c.355] Теорема 3. ЛеВ Hs (5)) при всех s, если Im /г = О или п = 2 и 1т/г 0. Если же п = Ъ, 1т/г 0, то A R Hs(S)) при всех s. [c.355] Если же п = 3, Im k О, то для А справедливы утверждения теоремы 2 г/з 35 с р = 1/2, 6 = 0. [c.355] В частности, Im Цу стремятся к О, особенно быстро при Im fe = 0. [c.356] Если Я = 0 — собственное значение оператора А, а целью является приближенное решение внешней задачи Дирихле, то можно поступить следующим образом. Заменим область на V E , где Яе —шар малого радиуса, лежащий внутри V , и подчиним решение условию ди/дг- - и = 0 на его внешней поверхности Sj с р = onst, ImP 0. Можно проверить, что модифицированная таким образом задача (36.1) — (36.3) с Я = 0 однозначно разрешима и эквивалентна интегральному уравнению Лф = , в котором А уже не имеет собственного значения 0. Ядро оператора А имеет вид G x, у) а у), где G (х, i) — функция Грина для уравнения Гельмгольца в дополнении к E с указанным выше условием на Sg и условием излучения на бесконечности. Функция G(x, y) — G x — y) принадлежит С°° при х, у (см. [3], гл. III), так что А —А—бесконечно сглаживающий оператор. Поэтому для А сохраняются теоремы 1 и 3 и их следствия. Функцию G x, у) можно выписать в явном виде (см. [67]). [c.358] Если S — эллипс или эллипсоид, то оператор А будет нормальным при специальном подборе (т(л-) (см. [26]). [c.358] Легко проверить, что этот оператор имеет присоединенный вектор при а = — 1, = 1 р(а)р ( ) = 3 2д/2 k = 2l+ 1)я/4 (/ = 0, 1, 2,. ..). [c.359] Вернуться к основной статье