ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эллиптические псевдодифференцнальные операторы и граничные задачи из "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции Спектральные свойства дифракции " В силу 2°Кег.я состоит из бесконечно гладких функций. [c.326] Оператор А (см. 33) эллиптичен вместе с Ф, так что для Ф справедливы аналогичные утверждения. Пусть Г = dim Кег Л и V, . .., У /—базис в Кег я . [c.326] Разность % = 1 — I называется индексом оператора s4-. Индекс не меняется при добавлении к s4- любого оператора порядка меньше у. [c.326] Отметим также, что оценка в Г на самом деле эквивалентна эллиптичности и что для эллиптических операторов в К справедливы утверждения Г и 2°. [c.327] Можно также показать, что если рассматривать и формально сопряженный к нему оператор 4- (см. пп. 1 и 3 в 33) как операторы в Яо( ) с областью определения Я (2), то они сопряжены в смысле теории операторов в гильбертовом пространстве (см., например, [2], гл. IV, п. 44). [c.327] В этом пункте мы будем предполагать, что — эллиптический ПДО на для определенности порядка 1, совпадающий с 4 . Согласно сказанному в конце предыдущего пупкта, 4-0 как оператор в Яо( ) с 2)(. о) = = Я1( ) является самосопряженным, так что, в частности, спектр 2(. о) лежит на вещественной оси. [c.327] Если Lq = — самосопряженный ПДО первого порядка на поверхности 3 с положительными собственными значениями, то = В общем случае шкала зависит, конечно, от Lq. Но эта шкала и оператор о в ней сохраняют ряд свойств шкалы Hs и оператора (см. п. 2). Перечислим некоторые свойства. Под будем понимать пересечение всех это пространство бесконечно гладких векторов. [c.330] Эти утверждения несложно выводятся из определения пространства Чтобы проверить 1), нужно показать, что образ огранлченного множества из имеет конечную 8-сеть в i s,. [c.330] Действительно, [ = й — Lo L f. Пусть для простоты 3 е Мы получаем сначала, что f е ф5+1+(1-у). затем —что [ е 5+,+2 (1-у). и т. д. [c.331] Предложения 3) и 5) —это аналоги теоремы о гладкости 2° (из п. 1) для эллиптических ПДО. Продолжим эту аналогию. [c.331] Действительно, это уравнение эквивалентно уравнению Фредгольма (/+ = 0. [c.331] Поясним способ составления уравнений (34.7). Член с г (х) в (34.5) считается младшим и в условии эллиптичности не учитывается. Оператор Лапласа Д по касательным переменным х имеет символ — Р- Знак минус перед ю в (34.76) поставлен потому, что нормаль N направлена в сторону отрицательных t. Главный символ оператора 4 взят в рассматриваемой точке х = 0. [c.332] Поясним, что если м s Ях+о (G), то f Hs(G) и gs Ях+1/2(Г) в силу утверждений 5°, 6° и 9° из 32 и аналогично и g Hs+312 (Г), ди/дМ е Hs+i/2 (Г). [c.333] Укажем несколько вариантов этих утверждений. [c.333] Условие (34.6) или (34.9) можно заменить условием Дирихле u x) = g x) на Г. Оно также удовлетворяет условию эллиптичности (в этом случае (34.76) заменяется на и(0) = /г). При этом llgllr, s+1/2 заменяется на lla llr S+3/2 аналогично изменяются формулировки остальных утверждений. [c.333] Граница Г может состоять из более чем одной компоненты, и граничные условия могут быть разными на разных компонентах (скажем, на одной — условие (34.9), на другой — условие Дирихле). Аналоги утверждений Г—4°, имеюшие место и для этого случая, нетрудно сформулировать. [c.333] Для эллиптических задач с граничными условиями на 5 и Г справедливы аналоги утверждений 1° —4°, вытекающие из общих теорем (см., например, [56] и [64]). Эти аналоги нетрудно сформулировать, руководствуясь предложениями 32. Мы сделаем это в 36, 38 для рассматриваемых там задач. [c.334] Можно рассмотреть и задачи для эллиптических систем, например, для векторного уравнения Гельмгольца. Одна такая задача упоминается в п. 8 40. [c.334] Вернуться к основной статье