ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Псевдодифференцнальные операторы из "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции Спектральные свойства дифракции " Мы приведем здесь сводку определений и нужных нам теорем. Доказательства можно найти, например, в [57] и [20], ч. И, 2 см. также [19], гл. И. [c.311] А° Величины (32.1), (32.3) — (32.5) сохраняют смысл для элементов из соответствующих Н и определяют нормы в этих пространствах. [c.313] Совершенно аналогично определяются пространство (r ) и норма в нем. Сходимость последовательности функций м (х) в С (К) при целом s — это равномерная сходимость и (х)) и D u (a ) при любом а ( а 1 s). При s S имеем (F) с (F), и оператор вложения ограничен. [c.314] Наконец, пространство С( (е) состоит из всех таких функций и на , что все Х/Ы (/ ==1,. . К) будут принадлежать 4r ). если их записать в локальных координатах и продолжить нулем на соответствующие R . Норма функции и в (S) определяется как наибольшая из норм функций Х/Ы в соответствующих с (r ) здесь снова выбор разбиения единицы и локальных координат не играет существенной роли. [c.314] Очевидно, что сгЯ и оператор вложения ограничен в случаях ограниченной области и . [c.314] Некоторые обобщения изложенных здесь определений и фактов на случай вектор-функций понадобятся нам и будут приведены в 40. [c.316] Мы будем пользоваться здесь определениями и обозначениями, введенными в 32. Доказательства приведенных здесь утверждений и дальнейшие подробности можно найти, например, в [47], [65] и [24]. [c.316] Назовем ее однородным символом порядка у, если выполнены следующие условия она положительно однородна по %, степени V. т. е. а х,1 = а х, при i О, является бесконечно гладкой функцией (при =/= 0) и не зависит от X при достаточно большом х , т. е. при х С — С (а). Здесь у — вещественное число. [c.316] ЦИЯ на Н , равная О в окрестности начала и 1 вне несколько большей окрестности. Положим а(, х,1) = =а х,1)д(1) и определим оператор ао х, О) формулой вида (33.1) с заменой а на а . Двум разным функциям 01, 02 отвечают операторы ав, х. О), авг х, О), разность которых есть бесконечно сглаживающий оператор. Мы позволим себе называть ао(х. О) однородным ПДО с символом а х,1). [c.317] В дальнейшем вместо ПДО с главным символом порядка V мы будем говорить ПДО порядка у . [c.317] В частности, оператор умножения на функцию ао(х) есть однородный ПДО с символом аа х), имеющий нулевой порядок. Более общие однородные ПДО нулевого порядка — это так называемые сингулярные интегральные операторы нам не придется рассматривать их специально. Напротив, ПДО отрицательного порядка будут играть важную роль им посвящен п. 2. [c.318] Следующие три утверждения составляют содержание нужной нам части исчисления псевдодифференциальных операторов. Первые два из них очевидны в случае символов, не зависящих ат л третье легко проверяется в случае дифференциальных операторов. [c.318] Здесь К обладает такими же свойствами, как К в 1), 6а( ) —функции из СГ(К ). [c.319] Сц(х) е С (н ). Очевидно, что в этом случае (33.4) — бесконечно сглаживающий оператор. [c.320] Продолжая подготовку к 36, 37, мы рассмотрим теперь интегральные операторы с неоднородными ядрами довольно специального вида. Будет установлено четыре вспомогательных предложения. [c.320] Предложение 1. При указанных условиях А — ПДО порядка у — — (п — I) — (р — q) в R . [c.321] Доказательство. Функция /Г на плоскости имеет преобразование Фурье 2я Г в смысле обобщенных функций (см. [5], гл. П, 3). Отсюда нужный результат получается заменой переменных. [c.323] Это следует из того, что преобразование Фурье обобщенной функции 1п т на прямой равно — я Г вне начала координат (см. [5], гл. II, 2, и гл. I, 4). [c.324] Ю = (Л. п,. .У. которые можн рассматривать как локальные координаты в Г 3. Однако законы преобразования координат в Г и Г разные. Если локально на мы переходим от координат / к координатам 1 = (), то набор t, п) переходит в i, т]) = = [дi t) дt]r]) (где —матрица Якоби), а набор (/, I) переходит в ( , ) = (/(/), [д I). Отсюда и из формулы (33.3) ясно, что главный символ ПДО — функция на Г . [c.325] Локально главный символ записывается как функция а t, I), определенная и бесконечно гладкая при I =7 О, положительно однородная степени у. Если не выходить за пределы координатной окрестности, то можно определить также полный символ (ср. п. 1). [c.325] Вернуться к основной статье