ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Системы векторов и несамосопряженные операторы в гильбертовом пространстве из "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции Спектральные свойства дифракции " Система f называется минимальной, если ни один из векторов f не содержится в замыкании линейной оболочки остальных векторов этой системы. [c.298] Пусть [Д — минимальная система. Тогда в существует система йг (г = 1, 2.), биортогональная к [/ (Г/, йг) = бг/ ( ,/=1,2.). Если при этом f/ — полная система, то г определяется однозначно и также будет минимальной полной системой. Если f/ ортонормированная полная система, то й = f/ для всех /. [c.298] Эти два неравенства, заменяющие равенство Парсе-валя для ортонормированной системы, п,ригодны для оценки нормы остатка ряда Фурье. [c.299] Каждое из свойств 1) — 3) эквивалентно тому, что fi)—базис Рисса (если к 2) добавить, что система fy полна, а к 3) — что О i fj Сч (теоремы Бари и Лорча)). [c.299] Полная минимальная система, квадратично близкая к ортонормированному базису, является базисом Рисса (теорема Бари). Такой базис называется базисом, квадратично близким к ортонормированному, или базисом Бари. [c.299] Обозначим через 3 линейную оболочку векторов. .Мы ввели в (31.5) оператор проектирования сопоставляющий каждому вектору f часть его ряда Фурье, лежащую в Если [Д —полная минимальная система, то Р проектирует на параллельно замыканию линейной оболочки остальных Если f — ортонормированный базис в , то Р — ортопроектор на 9Я(. [c.300] Е / / можно рассматривать как некоторое усреднение первого. [c.300] В следующем пункте будут указаны усиления свойства базисности со скобками. [c.300] Такая система [у будет базисом Рисса со скобками (это следует из теоремы А. С. Маркуса см. [6], гл. VI, 5, и [37]). Мы назовем такую систему базисом Бари со скобками ). Условие (31.7) говорит о том, что ряды Е/ /Г и Ес/Г в известном смысле равносходящиеся . [c.301] Пусть Л —вполне непрерывный (другое название компактный) оператор. Известно (см., например, [2], гл. V), что тогда 2 (Л) состоит из О и не более чем счетного множества собственных значений, которые могут скапливаться только к 0. Каждому собственному значению Я =/= О отвечает конечномерное корневое подпространство 2 (Я) = %), состоящее из всех таких векторов f, что (Л — /) f = 0 при каком-нибудь натуральном т. Если f =7 = О, то наименьшее m = m(f) называется порядком вектора f. Корневые векторы порядка 1 — это собственные векторы, порядка больше 1 — присоединенные векторы. Если О — собственное значение, то мы будем предполагать, что отвечающие ему корневые векторы образуют конечномерное подпространство ). Размерность d (Я) = dim й (Я) называется алгебраической кратностью собственного значения Я. Если она больше 1, то либо 2 (Я) состоит из О и собственных векторов, либо там имеются также и присоединенные векторы. Положим еще m( ) = maxm(f) по всем f =7 О из Й(Я) это наибольший из размеров жордановых клеток матрицы оператора Л в (Я). [c.302] При всех / если О — собственное значение, то, = d(0) = 0 и I Яу Я,+1 I при / (0) при этом каждое собственное значение Я, повторяется d K) раз. В каждом (Я) выберем базис и составим из всех этих базисов систему fy (/=1, 2,. ..) так, что fyeS(Xy) при всех /. Систему f/ зафиксируем и в дальнейшем будем называть системой корневых векторов оператора А. Для операторов, которые нам предстоит рассматривать, она будет бесконечной и минимальной (ср. ниже п. 6). Отметим еще, что при этом пространство Ш1 (см. п. 1) всегда будет корневым подпространством или конечной суммой корневых подпространств, отвечающих соседним собственным значениям. [c.303] Числа = для ненулевых называются характеристическими числами оператора А. [c.303] Подчеркнем, что оператор с дискретным спектром — обязательно неограниченный оператор, так как оператор, обратный к ограниченному, не может быть вполне непрерывным. [c.303] Собственные значения мы расположим в последовательность Л/ (/ = 1,2.) так, что 1 м-1 К1 И-21 и каждое собственное значение х повторяется d((x) раз, а из базисов во всех 2 ( г) составим систему корневых векторов fy оператора L так, что fysii(iXy) при всех /. [c.303] В общем случае, когда есть и присоединенные векторы, это определение обобщается следующим образом. [c.304] Этот вид базисности, в отличие от определенных в пп. 1—2, тесно связан с рассматриваемым оператором, поскольку от него зависят е/(/ а). Обсуждение метода Абеля мы продолжим в п. 4 35. [c.305] Оператор Л называется диссипативным, если Im (Лf, f) О для всех f. [c.305] В частности, это верно в отношении 2 (0), если Л — диссипативный оператор и О —его собственное значение. [c.305] Заметим, что если Л диссипативен, то А не диссипативен (за исключением случая, когда А==А ), однако оператор — Л диссипативен. [c.305] Диссипатнвность неограниченного оператора Ь определяется условием 1т(Ц, [) 0 прн feФ(L). Если такой оператор имеет ограниченный обратный = то — А диссипативен. [c.306] Вернуться к основной статье