ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ДОПОЛНЕНИЕ. М. С. Агранович. Спектральные свойава задач днфракцнн из "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции Спектральные свойства дифракции " В тексте книги мы не давали ссылок на литературу и не сопоставляли излагаемые методы с другими. В п. 1 этого параграфа мы перечислим основные работы, в которых другими авторами излагались близкие идеи. Приводятся ссылки только на одну-две работы каждого направления. В п. 2 мы сопоставим некоторые аспекты обобщенного метода собственных колебаний (ОМСК) с другими направлениями в теории дифракции. В п. 3 сформулированы некоторые возможные обобщения метода. [c.280] Во всей книге использованы монографии и учебники по теории дифракции [2], [4], [7], [8], [9], [10]. [c.280] Метод главы I близок к так называемому методу фуикций Штурма одной из первых работ, в которых подробно рассмотрено представление поля в виде ряда по этим функциям, без привлечения непрерывного спектра, является [38]. [c.280] В [32] во вспомогательной задаче k принято вещественным, и собственные функции удовлетворяют условиям излучения. Эта идея в применении к одномерной квантовомеханической задаче предлагалась давно, и формулы (5.38) — (5.40) варианта метода, описанного в 5, п. 4, при замене е(г) на 1 — U r)lk переходят в формулы, приведенные в начале 3 обзора [22]. [c.281] От [38] ОМСК отличается, в первую очередь, тем, что k в однородном уравнении принято равным k в задаче рассеяния. В отличие от [32], [38] в ряд разлагается только рассеянное поле, и поэтому ряд сходится всюду. По-видимому, ранее в нем не производилось выделение слагаемого, соответствующего рассеянию на вспомогательном потенциале /(г). Именно это выделение позволило получить в резонансных условиях явное одночленное выражение. В принятой в квантовомеханической теории терминологии это означает, что собственные функции порождаются не обычным уравнением Лип-мана — Швингера (5.24), а другим уравнением Лип-мана — Швингера в методе искаженных волн [8] — уравнением (5.45) или, в других обозначениях, (7.20). Аналогом этого слагаемого в рядах, использованных в 23—28, является слагаемое, соответствующее дифракции на заметаллизированном резонаторе. По-видимому, к уравнениям (6.1) и (6.3) аналогичный аппарат не применялся. [c.281] Метод 9 главы П примыкает к работам В. А. Стеклова по скалярному волновому уравнению для замкнутого объема со спектральным параметром в виде множителя в граничном условии третьего рода [33]. Перенесение на внешние задачи и на двусторонние граничные условия (условия сопряжения), по-видимому, не производились. В 24 использованы результаты работы [39] по асимптотике собственных элементов задачи Стеклова для уравнения Лапласа. [c.281] В монографии соответствующий аппарат развивается как один из вариантов более общего метода (гл. II), в котором собственное значение вводится в условие на границе. Выделение /° позволяет эффективно исследовать высокодобротные системы открытые резонаторы и волноводы, в частности резонаторы со слабой связью. Аппарат развит также для поверхности с граничным условием сопряжения (малое р соответствует слабой связи), и для резонатора с узкими щелями. Найдена структура собственного значения вблизи спектра закрытого резонатора, характер поля вне и внутри резонатора и т. д., решен ряд конкретных задач. [c.282] Стационарные функционалы релеевского типа для собственных частот в задачах о замкнутой области подробно рассмотрены, например, в [7], там приведено также несколько примеров того, как сделать какие-либо граничные условия естественными. Общий метод неопределенных коэффициентов для построения функционалов, для которых заданные граничные условия являются естественными ( 16), ранее не применялся. Вариационный аппарат не применялся, по-видимому, для вычисления других собственных значений электродинамических задач. При построении стационарных функционалов в бесконечной области существенным является вещественность к. [c.282] Эта книга написана в основном по работам авторов, частично опубликованным в 1968—1975 гг. [11]—[16], [19], [24]—[26], [28], [29] в [17], [18] содержатся обзоры этих работ. Ряд новых задач рассмотрен в [35а]. [c.283] Войтович, Б. 3. К а ц е и е л е н б а у м, Е. Н. Коршунова, А. Н. С и в о в. Решение внешних задач дифракции и расчет постоянных распространения открытых волноводов при помощи вещественного интегрального уравнення. Радиотехника и электроника 20, 6, 1129—1137 (1975). [c.286] также Заключительные замечания . [c.289] Уравнение (30.4) эквивалентно задаче и х) определяется по ф(л ) формулой (30.3), а ф(л ) по и х) — формулой ((, — ди 1дМ — ди+/дЫ (см. п. 1 36). Теперь будем рассматривать уравнение (30.4). [c.290] Пусть сначала = Яе к = 0. Легко проверить, что тогда А — самосопряженный оператор в (5), т. е. [c.291] Это — один из классических методов решения уравнений Фредгольма можно назвать его спектральным методом. [c.291] Прежде всего приходится считаться с тем, что, кроме собственных функций, могут появиться присоединенные функции, и тогда без них уже нельзя обойтись. Аналогия из линейной алгебры пусть А—линейный оператор в /г-мерном комплексном пространстве С и I — жорда-нова форма матрицы этого оператора. Если I — диагональная матрица, то в С есть базис, составленный из собственных векторов оператора Л если же в / имеется хотя бы одна жорданова клетка размера больше 1, то в С уже нет базиса из собственных векторов оператора А, но есть базис, составленный из собственных и присоединенных векторов этого оператора. [c.292] Следует отметить, что предъявить присоединенные функции нелегко, и пока их удалось указать в явном виде только в одномерных вариантах некоторых из рассмотренных в книге задач. Примеры с присоединенными функциями приведены в п. 7 36 и п. 4 39. [c.292] Иначе говоря, в этом случае можно непосредственно пользоваться вещественной ортогональностью собственных функций, как это делается в предыдущих параграфах. При надлежащей нормировке г 3 будет совпадать с ф]. Если встречаются и собственные значения кратности выше 1, то можно доказать, что при специальном выборе систем корневых функций, отвечающих таким собственным значениям, мы снова будем иметь 1з,- = ф,-. Несколько усложняются также соответствующие члены в формуле (30.9). В частности, если есть присоединенные функции, то в формулах для коэффициентов могут появиться полюсы порядка выше первого в точках Ху ф 0. Подробнее мы обсудим это в пп. 6 и 7 31. [c.293] Как видно из оглавления, в 37—40 будут разобраны другие задачи. Выше они рассматривались в близкой форме в 2—5, 9, 10, 13 и 14. При этом в 37 и 40 мы получим такие же по характеру результаты, как в 36. Результаты в 38 будут более скромными, но все же достаточными для обоснования спектрального метода. В 39 для рассмотренных там задач при некоторых предположениях будет показано, что присоединенных функций нет, а из собственных функций можно составить ортонормированный базис при некотором специальном выборе скалярного произведения. [c.294] В классе ПДО содержится важный подкласс эллиптических ПДО. Например, эллиптичны оператор Лапласа, Л и Лд. Система Максвелла не эллиптична, но задачи для нее, которые мы рассмотрим в 40, будут сведены к уравнениям с эллиптическими ПДО на 5. [c.295] В 39 будет затронута теория самосопряженных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. [c.296] Вернуться к основной статье