ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Идея метода содержание книги из "Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции Спектральные свойства дифракции " Для задач, сводящихся к интегральным уравнениям, существует какой-либо вариант обобщенного метода, при котором ядро имеет особенно простой вид и собственное значение входит множителем в ядро (а не в аргументы специальных функций, как собственная частота). Если задача дифракции сводится к неоднородному интегральному уравнению, то соответствующее однородное интегральное уравнение второго рода обычно может трактоваться как уравнение для собственных функций одного из обобщенных методов. Основной результат теории в этой ситуации состоит в том, что собственные значения этих уравнений имеют простой физический смысл зная их, можно полностью исследовать окрестность резонансной частоты. [c.9] В предлагаемой книге с единой точки зрения сформулированы различные возможности, которые возникают в методе собственных колебаний прн его обобщениях. [c.9] Временная зависимость принята в форме ехр(гиП-Частоту мы будем характеризовать волновым числом к = (й1с и эту величину будем называть частотой. [c.10] Здесь и° — поле тех же источников в отсутствие цилиндра (тела, на котором происходит дифракция), т. е. в пустоте. Как и всюду далее, в ряд разлагается не и, а и-ио. [c.10] Это обусловлено тем, что в системе есть потери на излучение, и потому и. п нн при какой частоте не обращается в нуль, а — в бесконечность. [c.11] В ЭТОЙ задаче все полученные результаты тривиальны и могут быть, разумеется, найдены просто разделением переменных. Решая задачу о дифракции на цилиндре или о возбуждении цилиндрического резонатора этим методом, пользуются рядами типа (1.4). В этом варианте ( 9) обобщенного метода собственных колебаний такие ряды используются и в том случае, когда каледая функция не является произведением функций от одной координаты — основным является то, что удовлетворяет волновому уравнению и граничному условию (1.2). [c.12] Во втором параграфе Введения и в первой главе изложен аппарат, в котором изменена левая часть уравнения, а граничные условия для совпадают с условиями для и. Во второй главе Ып удовлетворяют уравнению с неизмененной левой частью, но граничные условия для отличны от условий для и. [c.12] Соответственно либо уравнение, либо граничное условие для и будет выполняться не почленно, а только всем рядом. Из этого требования и вычисляются коэффициенты Ап- Существенно, что если Л находится из условия на 5, то Ып ортогональны (вещественно-ортогональны) на 5 (как в примере предыдущего пункта), а если Ап находится из условия в объеме V, то и ортогональны именно в V. [c.12] ЦИИ ы В ЭТОМ методе не удовлетворяют условию — частота равна частоте источников частота является собственным значением. Метод этот общеизвестен и излагается для того, чтобы создать единую картину всего аппарата. [c.13] Имея в виду, что частота всюду характеризуется у нас волновым числом к, и вынося в название метода ту букву, которая является собственным значением, мы называем этот метод -методом. [c.13] В первой главе изложен метод, в котором роль собственного значения играет диэлектрическая проницаемость. Метод применим к задаче дифракции на диэлектрическом теле. Функции Ып удовлетворяют однородному волновому уравнению, в котором диэлектрическая проницаемость е тела заменена на собственное значение е . Функции и ортогональны при интегрировании по телу, а коэффициенты А содержат в знаменателе разность е — е . Если в системе нет никаких потерь или есть только диэлектрические потери, т. е. потери, обязанные комплексности е, то е вещественны. Для открытых резонаторов и вообще для задач дифракции, в которых есть потери на излучение, 1т е О, т. е. е является диэлектрической проницаемостью некоторого активного (выделяющего энергию под действием поля) тела. Аппарат е-метода легко обобщается на задачи дифракции на неоднородных диэлектрических телах. В частности, этот метод применим и к квантовомеханической задаче рассеяния на потенциальном поле, которая коротко рассмотрена в 7 и 20. [c.13] Во втором варианте р-метода ( 11) нормальная производная функции п непрерывна на 5, скачок испытывает сама и скачок этот пропорционален нормальной производной, и коэффициент пропорциональности Рп является собственным значением задачи. Метод, изложенный в 12, является обобщением т- и р-методов между значениями и ее нормальной пропзводнон с обеих сторон поверхности устанавливаются линейные соотношения. Этот метод применим к задачам дифракции при весьма общих граничных условиях для и на 5, условиях типа неизотропной полупрозрачной решетки. [c.14] В методе, изложенном в 13, собственные значения вводятся через условия для собственных функций на бесконечности. Этот метод удобен для решения задач дифракции с потерями только на излучение. [c.14] Если теперь в (1.12) заменить обозначения К и) на kP-, а W — на W[и) и разрешить это соотношение относительно W u), то получится (1.9). Эта формальная процедура, обоснованная в третьей главе, соответствует соотношению между однородными задачами в fe-методе (собственное значение есть kl, w есть параметр задачи) и в да-методе [kP- есть параметр задачи, w — собственное значение). Во всех вариантах обобщенного метода стационарные функционалы могут быть получены из некоторого уравнения, содержащего параметры kP-, е, w, р, р, если разрешать это уравнение относительно соответствующего параметра и рассматривать правую часть как функционал. [c.15] Первые два пункта последнего параграфа главы содержат литературные ссылки. Книга написана по материалам работ авторов (в частности — неопубликованным), но многие идеи, и часто в близкой форме, были известны ранее или публиковались независимо. Этот параграф содержит изложение соответствуюш,их работ и сопоставление их с материалом книги. Список общих электродинамических и математических работ, использованных в книге, сделан весьма кратким. Третий пункт содержит соображения о некоторых возможных путях развития метода. [c.16] Чтобы не утяжелять формальный аппарат, мы будем считать собствеЕШые значения простыми, исключая, в частности, появление присоединенных функций. Общий случай, как показано в Дополнении, не намного сложнее. [c.16] Вернуться к основной статье