ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Аксиома сводимости Рассела. Примеры из "Метод переменного действия Изд2 " В современной логике предикация рассматривается как частный случай функциональной зависимости. Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания [31. [c.217] На основе иерархии типов Рассела А. Пуанкаре применил аксиому сводимости при построении предикативной функции. Предложение предикат, наше примечание) будет определённого порядка в иерархии типов, и этот порядок не будет одним и тем же, каково бы ни было х (неопределённый предмет, наше примечание), так как он будет зависеть от порядка X. Функция будет называться предикативной порядка + 1, когда X порядка к. После этих определений смысл аксиомы всё ещё не очень ясен, и несколько примеров не помешают [93]. Приведём примеры, демонстрирующие использование аксиомы. [c.217] Пример 1. Покажем, что в доказательстве существования корня алгебраического уравнения (см. п. 31.2) Пуанкаре практически использует аксиому сводимости. Обсудим этот пример несколько подробнее, воспользовавшись приведёнными определениями и расширив иерархию типов аргумента. [c.217] Отсюда далее следует, что (жо) — 0. Такое определение Р хо) не предикативно, так как значение Р хо) зависит от множества значений Р х), к которому оно принадлежит . [c.217] Для этих множеств имеем включение й С М С С С Р, т. е. каждое из них включает в себя предыдущее. Поэтому высказываниям относительно значений Г хо) можно присвоить порядок, на единицу больший, чем порядок её аргумента. В доказательстве существования корня алгебраического уравнения А. Пуанкаре вместо непредикативного определения значения Е хо) хо е М) использовал принадлежащий более широкому множеству аргумент второго порядка, для которого определение (дефиниция) значения Р хо) предикативно. [c.218] В связи с примером в сноске на с. 217 поставим вопрос сколько решений имеет квадратное уравнение — 1 = О Ответ не единственный одно (в области натуральных чисел) два (в множествах ,М, С) четыре (в множестве Р) и т. д. [c.218] Пример 2. Непредикативны такие дополнительные понятия, как случайное и детерминированное (в смысле не вероятностное), абсолютное и относительное, непрерывное и дискретное и т. д. [c.218] В работе [94] А. Пуанкаре отмечает неполноту (непредикативность) классического определения вероятности Определение, скажут, — очень просто вероятность какого-нибудь события есть отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию, к полному числу возможных случаев... приходится дополнить (это определение, наше примечание), говоря ...при условии, чтобы эти случаи были равновероятны . Замена термина равновероятны словами несовместимы и равновозможны не отменяет непредикативность классического определения. [c.218] Пример 3. Развитие теории через непредикативные отношения даёт история обоснования уравнений Гамильтона-Якоби. Первоначально было показано, что уравнению Гамильтона-Якоби удовлетворяет главная функция Гамильтона W), которая позволяет получить конечные уравнения движения. [c.219] Главная функция удовлетворяет уравнению Якоби и является его полным интегралом вида = Ж(дь. .., де, . ), в котором постоянные равны начальным значениям обобщённых координат. [c.220] Если известно решение задачи Коши (закон изменения обобщённых координат и импульсов как функция времени и начального состояния), то действие вычисляется через начальные значения обобщённых координат, импульсов и время. Последующее исключение начальных обобщённых импульсов даёт выражение главной функции. [c.220] Однако в результате возникает порочный круг для написания конечных уравнений движения (закона движения) нужна функция ] , а для составления этой функции нужно знать конечные уравнения движения. Определение полного интеграла в виде главной функции Гамильтона для нахождения закона движения непредикативно по отношению к решению с заданными начальными условиями, которое находится с помощью полного интеграла в виде главной функции Гамильтона. Этот порочный круг разорвал Якоби, показавший, что конечные уравнения могут быть написаны при помощи произвольного полного интеграла 5 уравнения Гамильтона-Якоби (приём расширения множества, в которое включено одно из понятий, участвовавших в непредикативном определении). [c.220] Дальнейшее обобщение метода Якоби дал А. Пуанкаре. В задаче возмущённого движения он предложил [92] увеличить число степеней свободы голономной системы так, чтобы стало возможно применять метод вариации постоянных и каноническую форму уравнений возмущённой системы. [c.220] В заключение отметим, что при сопоставлении аксиомы сводимости и принципа индукции А. Пуанкаре не пришёл к выводу об их сравнительной общности. Если иметь в виду только математическую индукцию и пропозициональные функции, то можно заметить, что применение аксиомы сводимости возможно и для аргументов предметного содержания. [c.220] Принцип предикативности, как и другие принципы, имеет высокую степень неопределённости и не даёт конкретных рекомендаций, а относится скорее к аналитической работе ума. Интуитивно он широко используется в логике и математике, но ещё не вполне оформился в статусе общего научного принципа естествознания. [c.221] При изучении свойств гамильтоновых систем попутно обращается внимание на ситуации, в которых используются непредикативно определённые понятия, непредикативные правила и доказательства. [c.221] Вернуться к основной статье