ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определимость и предикативность понятий и правил соответствия по А. Пуанкаре из "Метод переменного действия Изд2 " Г-н Ришар доказал, что множество определимых предметов счётно, т.е. кардинальное число этого множества есть io Доказательство совсем просто пусть а — число слов в словаре, тогда п словами можно определить самое большее предметов ). Если теперь разрешить п неограниченно возрастать, то, как нетрудно видеть, даже в этом случае невозможно выйти за пределы счётного множества. Следовательно, мощность множества мыслимых предметов была бы равна Г-н Шен-флис возразил против этого доказательства, заметив, что с помощью одного-единственного определения можно задать несколько, даже бесконечно много предметов. В качестве примера он приводит определение функций-констант. Такое возражение неприемлемо потому, что определения этого типа задают не отдельные предметы, а их совокупность, в нашем примере — множество функций-констант, и это множество представляет собой один-единственный предмет. Итак, выдвинутое г-ном Шёнфлисом возражение необоснованно. [c.211] Из какого предположения мы исходили в этом примере Мы приняли предположение о правиле, по которому каждой точке отрезка поставлено в соответствие некоторое целое число. Затем нам удалось определить точку, которой не соответствует никакое число. В этом отношении приведённые выше различные доказательства теоремы не отличаются. Но прежде всего необходимо установить правило. По Ришару, такое правило, по-видимому, существует, но Кантор доказал противоположное. Можно ли найти выход из создавшейся дилеммы Проанализируем, как надлежит понимать слово определимый . Мы берём перечень всех конечных утверждений и вычёркиваем из него все утверждения, которые не определяют никакой точки. Оставшиеся утверждения мы поставим в соответствие целым числам. Если теперь мы снова просмотрим наш перечень, то в общем случае можно показать, что некоторые из ранее вычеркнутых утверждений придётся оставить. Действительно, утверждения, в которых шла речь о правиле соответствия, ранее не имели значения, так как точки не были поставлены в соответствие целым числам. Теперь же эти утверждения обрели значение и поэтому должны оставаться в нашем списке. Если бы мы изменили правило, по которому устанавливается соответствие между точками и целыми числами, то та же самая трудность повторилась бы, и так до бесконечности. Но именно в этом и заключается разрешение кажущегося противоречия между Ришаром и Кантором. Пусть Мд — множество целых чисел, М — множество точек нашего отрезка, определяемых всеми конечными утверждениями, сохранившимися в нашем перечне после первого вычёркивания, — правило, устанавливающее соответствие между Мо и М[. Правило порождает новое множество определимых точек М2. Но множеству М + М2 соответствует новое правило ( 2, которое, в свою очередь, порождает новое множество М3 и т. д. Доказательство Ришара учит нас, что там, где я оборву применение нашего построения, всегда существует некоторое правило соответствия, тогда как Кантор доказывает, что наше построение можно продолжать сколь угодно долго. Таким образом, между доказательствами Ришара и Кантора никакого противоречия не возникает. [c.212] Цермело высказал возражение против отказа от непредикативных определений, ссылаясь на то, что в таком случае пришлось бы отказаться от большей части математики, например от доказательства существования корня алгебраического уравнения. [c.213] Как известно, это доказательство состоит в следующем. [c.213] Отсюда далее следует, что F(xo) 0. Такое определение F xq) не предикативно, так как значение F xq) зависит от множества значений F x), к которому оно принадлежит. [c.213] Что же касается второго трансфинитного кардинального числа то я не совсем убеждён в том, что оно существует. Мы приходим к нему через рассмотрение множества ординальных чисел мощности Ко ясно, что это множество должно иметь более высокую мощность. Спрашивается, однако, замкнуто ли оно, чтобы мы могли говорить о его мощности, не впадая при этом в противоречие. Актуальной бесконечности здесь во всяком случае не существует. [c.214] Я могу говорить на эту тему ещё несколько часов, но не в силах решить проблему . [c.214] Трансфинитные числа — обобщение понятия порядковых чисел для бесконечных множеств. Если множество может быть сделано вполне упорядоченным различными способами, то одинаковые кардинальные числа (обобщение количественных чисел) могут быть заданы различными трансфинитными числами (в случае конечных множеств эти понятия совпадают) [60. [c.214] В этом месте А. Пуанкаре, как и Ришар, признаёт только объекты, а не классы, и потому не принимает возражение Шёнфлиса. Однако далее А. Пуанкаре сам отступает от данного ограничения, когда использует понятие отрезка и понятие точки (см. комментарии 3, 4). Можно согласиться с Дж. Д. Биркгофом [93] в том, что понятие класса ограничивает обсуждение проблемы, однако мы не согласны с тем, что понятие класса ограничивает взгляды А. Пуанкаре на проблему. Напротив, А. Пуанкаре не отрицает полезность непредикативных понятий и правил соответствия и демонстрирует применение аксиомы сводимости Рассела, допускающей существование иного способа задания элементов множества не через это множество. [c.214] Континуум непрерывное), конечно, не сводится к дискретному и просто не сопоставим с числами. Представление о непрерывном отрезке и дискретных точках делает противоречивым суждение о том, что отрезок состоит из точек . Например, если точки представлять как единые неделимые элементы, а отрезок считать сплошным непрерывным, то возникающее противоречие приводит к выводу [2], что прямая (и любой её отрезок) не составляется из точек. Принимая в качестве слов слова отрезок и подотрезки , состоящие из точек, А. Пуанкаре вслед за Кантором поступает, как и Шёнфлис, вводя слова , означающие целый класс. Это тоже делает несравнимыми доказательство Ришара и доказательство Кантора (см. также комментарий 4). [c.215] Вводя более широкое числовое множество (множество комплексных чисел вместо множества действительных), А. Пуанкаре на этом примере демонстрирует применение аксиомы сводимости Рассела. [c.215] Аксиому Цермело (1904 г.) называют также принципом произвольного выбора, согласно которому для любой системы непустых непересекающихся множеств существует функция, сопоставляющая каждому множеству один его элемент [60]. Иначе говоря, предполагается, что из каждого множества произвольной системы непустых и не имеющих общих элементов множеств можно сразу выбрать по одному элементу. На эту аксиому опирался Цермело в доказательстве теоремы о возможности всякое множество сделать вполне упорядоченным (полное упорядочение состоит в установлении отношения порядка следования и требовании, чтобы в каждом подмножестве существовал первый элемент). Аксиома Цермело вызвала много споров, ряд математиков не признал её, а следовательно, не считает установленной и теорему о возможности вполне упорядочить произвольные множества. [c.216] Вернуться к основной статье