ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Заметки о некоторых основных понятиях из "Метод переменного действия Изд2 " Книга написана в форме собрания заметок. В их число входят некоторые классические результаты с нашими комментариями, содержание ряда докладов, с которыми авторы выступали на конференциях и семинарах, а также статей в части, относящейся к рассматриваемым методам. Заметки логически связывает между собой близость тематики обсуждаемых вопросов, они сгруппированы по принадлежности к двум методам виртуального варьирования и переменного действия. Эти методы образуют основу аппарата аналитической механики и используются также в небесной механике, механике сплошных сред, некоторых разделах теоретической физики, математической физики, ряда направлений математики и т. д. [c.9] В теоретической механике содержание работы было бы отнесено к разделам Дифференциальные принципы механики и Интегральные принципы механики . Здесь мы рассматриваем метод виртуального варьирования и метод переменного действия как дополняющие друг друга и составляющие общий аналитический подход, который является концептуальным для естествознания. На примере механических систем изучается изменение действия в результате применения виртуального варьирования, при котором из рассмотрения исключаются реакции идеальных связей. Таким образом, создаётся своего рода инструмент , освоение которого необходимо для учёта ограничений при исследовании несвободных динамических систем. [c.9] Надеемся, что наши Заметки будут полезны при изучении механики. [c.9] Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП Интеграция и Конкурса грантов по фундаментальным исследованиям в области технических наук. [c.9] Заметки объединяет аналитический подход, основанный на применении двух взаимосвязанных методов метода виртуального варьирования и метода переменного действия. Основы этих методов являются составной частью содержания современных курсов теоретической механики [30, 39, 62]. [c.10] Метод виртуального варьирования возник вместе с принципом возможных перемещений (принципом виртуальных скоростей Лагранжа (J. L. Lagrang)) и принципом Даламбера (J. d Alembert) при объединении их в единый принцип Даламбера-Лагранжа, дающий общее уравнение аналитической механики. С использованием понятия возможных перемещений задаются реакции связей, в частности с помощью известного критерия идеальности связей. Принцип возможных перемещений вначале применялся при решении задач статики как необходимое условие равновесия. Достаточность принципа виртуальных скоростей для равновесия могла быть доказана только в теории, описывающей движение, так как под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тот момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения... [51]. Здесь мы вместо термина возможное перемещение предпочитаем пользоваться термином виртуальное перемещение , чтобы избежать терминологического противоречия, указанного М. В. Остроградским [79] при нестационарных связях виртуальные перемещения в общем случае не являются возможными в смысле физической реализации (иначе получилось бы, что возможные перемещения не являются возможными). Термин виртуальные вариации применяем, следуя авторам работ [74, 101], чтобы подчеркнуть, что варьирование производится в соответствии с требованиями, налагаемыми на виртуальные перемещения. Совокупность способов получения виртуальных вариаций, правила выбора множества последних и условия их применения составляют метод виртуального варьирования. [c.10] Метод виртуального варьирования является непременной составной частью дифференциальных и интегральных принципов механики на основе интегралов, называемых действие . [c.10] Даламбера-Лагранжа [25]. Термин, оставляя возможность отвлечься от способа реализации в случае идеальных связей, наполняется новым содержанием при появлении новых моделей. В частности, модель системы с идеальными связями может быть получена как предел различных последовательностей моделей, в которых рассматриваются конкретные силовые поля, участвующие в создании сил, являющихся реакциями. Для конструктивных способов реализации связей [44] требуется обобщение представления о виртуальных перемещениях и расширение сферы применения изучаемых методов. Заметим, что известная [119 некорректность Пуанкаре в постановке задачи о теории возмущений также может быть устранена с помощью конструктивного построения физических моделей. [c.12] Отрицание новых результатов или неправильное понимание как старых, так и новых результатов, а также неоправданное ограничение развития понятий и т.д. часто имеют объяснение в сфере методологии. Возникает подобная критика из-за неприятия её авторами одной простой, но важной, по нашему мнению, методологической схемы развития естественнонаучного знания. По этой схеме некая первичная модель используется при обосновании более общей модели, в которой первичная является частным случаем (получаемым при некоторых условиях согласно принципу соответствия). Указанная схема может характеризовать взаимоотношение теорий (например, квантовой и классической механики). Квантовая механика занимает очень своеобразное положение в ряду физических теорий она содержит классическую механику как свой предельный случай и в то же время нуждается в этом предельном случае для самого своего обоснования [54]. Связующим элементом этих механических теорий является действие . Добавим также, что описанная ситуация является типичной. [c.12] Содержание второй и третьей глав составляет разработка двух взаимосвязанных методов метода виртуального варьирования и метода переменного действия. [c.13] Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13] Практическое применение интегральных принципов происходит через составление интегральных равенств, получаемых методом переменного действия. Классические примеры таких равенств дают интегральный принцип Гамильтона-Остроградского и интегральные принципы для неголономных систем. [c.13] В качестве примеров приложения разрабатываемой теории анализируются (гл. IV) модели механических систем, содержащих абсолютно твёрдое тело и одномерный деформируемый элемент (стержень, нить). Модели динамики конкретных механических систем составлены с учётом замечаний Э. и Ф. Коссера в отношении формы евклидового действия, замечаний М. В. Остроградского о применении неопределённых множителей при наличии условных уравнений и т. д. [c.14] Основные связующие темы сохранились и для дополнительного материала, включённого во второе издание. Кинетическая энергия, кинетический потенциал и действие применяются при исследовании динамики общих и специальных систем. В их числе реономные системы (п. 5.5) динамические системы (п. 12.5) и системы Четаева (п. 17.3), (заметка 29) системы с неевклидовым действием (п. 18.3) системы с распределёнными параметрами — стержень в задаче об устойчивости его формы (п. 25.5) и развёртываемая центробежными силами в космосе поверхность (заметка 27) система с диссипацией энергии за счёт гистерезиса в опоре (заметка 28) система переменного состава (заметка 30) гамильтоновы системы (заметки 32-35) системы, включающие бесконечно удалённые гравитирующие массы со сферической симметрией и инерционные объекты, нарушающие общую симметрию (заметки 36, 37) система, состоящая из релятивистской частицы и её собственного поля (заметка 38). [c.14] Тесно связаны проблема инерционности и проблема гравитации, становящаяся всё более злободневной по мере её осознания. Предложение Э. Маха [64] по расширению аксиоматики Ньютона за счёт бесконечно удалённых масс учитывается при исследовании инерционности механического движения в форме принципа, названного принципом изменения нарушения симметрии (заметка 36) (аналог известного спонтанного нарушения симметрии при наблюдениях массы элементарных частиц). Нарушение симметрии — исходная посылка появления так называемого гравитационного парадокса [75]. Обсуждается задача вычисления энергоресурса бесконечно удалённых масс, из которых при наличии закона тяготения Ньютона в мысленных экспериментах формируется тело конечных размеров (шар) (заметка 37). Составлен кинетический потенциал системы релятивистская частица — собственное поле, обладающее инерционными свойствами (заметка 38). [c.15] Очевидно, что это не критика принципа изменяемого действия, а скорее, желание его усовершенствовать. [c.16] Заметки могут читаться независимо друг от друга, имеющиеся ссылки на формулы из других заметок снабжены двойной нумерацией. [c.16] Вернуться к основной статье