ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразование параксиальных пучков гауссовыми оптическими системами из "Лазерные резонаторы " Прежде чем начать изучение свойств резонаторов с помогцью метода интегрального уравнения, напомним некоторые сведения из теории дифракции, которые нам понадобятся в дальнейшем. Рассмотрение вопросов будем вести достаточно конспективно, поскольку имеется большое количество книг по оптике, в которых опи изложены полно и ясно [31, 32. [c.117] Существует несколько альтернативных соотногпений, связывающих и(Р) и г (Pl). В параксиальном приближении они все сводятся к одному виду. Поэтому для целей теории открытых резонаторов, в которой вполне уместно ограничиться параксиальной оптикой, выбор формы дифракционного интеграла не имеет особого значения. Мы возьмем за основу дифракционный интеграл в форме Рэлея Зоммер-фельда, поскольку вывод этого соотногаения свободен от внутренних противоречий, характерных для другой формы дифракционного интеграла — формулы Френеля-Кирхгофа [32. [c.118] Заметим, однако, — это условие является достаточным, но не необходимым для того, чтобы вклад в интеграл (2.1) от членов более высокого порядка в разложении квадратного корня был мал. Если условие (2.5) не выполнено, то при изменении координат точки Р экпоненциальный множитель в выражении (2.1) будет очень быстро осцилировать и основной вклад в интеграл будут давать только те точки отверстия, которые расположены вблизи точки х = у = у. В этой области скорость изменения фазы в экспоненте минимальна. В окрестности этих точек величиной фазового члена более высокого порядка можно пренебречь. Поэтому и в этом случае приближение (2.4) вполне оправдано. Формула (2.4) является основной в теории открытых резонаторов. [c.120] Формулы (2.4) и (2.6) описывают прохождение параксиального пучка через простейшие гауссовы оптические системы, а именно участок свободного пространства (2.4), тонкую линзу, сферическое зеркало (2.6). Можно построить интегральное соотношение, онисываюгцее распространение параксиального квазимонохроматического пучка по гауссовой оптической системе обгцего вида. [c.121] Подавляюш ее большинство оптических элементов, используемых в лазерной технике, с большой точностью можно рассматривать, как гауссовы. Поэтому построение подобного интегрального соотношения весьма важно, как для лазерной оптики вообгце, так и для теории резонаторов в частности. [c.121] Доказательство проведем методом математической индукции. Для этого установим, что формула (2.7) правильно описывает преобразование амплитуды пучка простейшими гауссовыми элементами, такими как участок свободного пространства, тонкая линза, сферическое зеркало. Затем покажем, что если формула (2.7) справедлива для двух оптических систем с лучевыми матрицами М, и М2 расположенными друг за другом, то она справедлива для объединенной системы с матрицей М равной произведению матриц М2 М,. Тем самым мы докажем, что формула (2.7) справедлива для любой, сколь угодно сложной, оптической системы, образованной участками свободного пространства, линзами, сферическими зеркалами. [c.122] Переходя в этом выражении к пределу при г Ои учитывая при этом явный вид элементов лучевой матрицы (2.8), получаем формулу тождественную (2.6). Следовательно, формула (2.7) правильно описывает прохождение параксиального пучка через тонкую линзу и отражение от сферического зеркала. [c.123] Рассмотрим теперь оптическую систему Мо (рис. 2.3), состоягцую из двух гауссовых подсистем М и М2. Предположим, что для каждой подсистемы формула (2.7) справедлива. Докажем, что в этом случае она справедлива и для всей системы в целом. Тем самым доказательство справедливости формулы (2.7) для гауссовой системы обгцего вида будет завершено. [c.123] Мы уже подчеркивали важность формулы (2.7) для лазерной оптики. В качестве полезной иллюстрации ее исиользования получим с ее помогцью закон преобразования комплексного параметра гауссова пучка, д введенного в первой главе, при прохождении произвольной гауссовой оптической системы. [c.125] Из этого следует, что гауссов пучок после прохождения гауссовой системы остается гауссовым. Меняется лигпь его комплексный параметр д в соответствии с (2.15). Соотногиение (2.15) подробно обсуждалось в первой главе. Здесь лишь подчеркнем, что формулы (2.15) и (2.16) справедливы и в том случае, если оптическая система содержит гауссовые апертуры. При этом элементы лучевой матрицы являются комплексными числами. [c.126] Коэффициент в формуле (2.16) описывает изменение амплитуды гауссового пучка за счет изменения его характерного ноне-речного размера, а также задержку но фазе по сравнению со случаем плоской волны. Если же система содержит гауссовы апертуры, то этот коэффициент описывает также уменьшение амплитуды пучка за счет потерь могцности на ограничиваюгцих гауссовых апертурах. [c.126] Вернуться к основной статье