ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость положения равновесия. Теорема Лагранжа — Дирихле. Критерий Сильвестра из "Курс теоретической механики Том2 Изд2 " Теория колебаний, начав свое развитие с исследования движения математического маятника, превратилась в широко разветвленную самостоятельную дисциплину с весьма сложным математическим аппаратом. Теория колебаний быстро развивается, что объясняется значением ее в современной технике. [c.453] В настояш,ей главе мы рассмотрим простейшие вопросы колебаний механических систем, а именно —малые колебания систем с одной и двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия. [c.453] Рассмотрим вначале материальную систему с идеальными, стационарными и голономными связями, положение которой определяется 5 независимыми обобщенными координатами , д,-Для изучения колебаний около положения равновесия необходимо, очевидно, прежде всего найти те положения, в которых система может находиться в равновесии. [c.453] Будем считать, что обобщенные силы зависят только от обобщенных координат. Тогда равенства (20.1) или (20.2) можно рассматривать как уравнения относительно д1, , дз- Решая эти уравнения, найдем те положения, в которых система может находиться в равновесии. Если обобщенные силы зависят не только от обобщенных координат, но и от обобщенных скоростей 4ь 2. то при решении уравнений (20.1) все обобщенные скорости нужно приравнять к нулю. [c.453] Во МНОГИХ случаях положения равновесия можно определить из элементарных соображений или с помощью обычных уравнений статики. [c.454] Задача 20.1. Определить возможные положения равновесия маятника с спиральной пружиной жесткости с (рис. 20.1), вес маятника Р, расстояние от оси подвеса О До центра тяжести С равно I. При верхнем вертикальном положении маятника спиральная пру-жина находится в недеформированном состоянии. Массой пружины и трением горизонтально расположенного цилиндрического подшипника пренебречь. [c.454] Система имеет одну степень свободы в качестве обобщенной координаты удобно принять угол ф. [c.454] Коэффициент с называется коэффициентом жесткости на кручение, его размерность равна размерности момента силы (угол ф измеряется, конечно, в радианах). [c.454] После того как составлено уравнение равновесия, задачу можно поставить двумя различными способами. [c.455] Этому корню отвечает верхнее вертикальное положение равновесия маятника. [c.455] Таким образом, если х 1, то маятник имеет одно верхнее вертикальное положение равновесия (ф1 = 0), при 0,129 1 маятник имеет два положения равновесия. [c.456] Найдя положения, в которых система может, вообще говоря, находиться в равновесии, нужно определить затем, какие из этих положений практически реализуемы или, иначе говоря, какие из этих положений являются устойчивыми, а какие неустойчивыми. Поясним сказанное простым примером. Обычный физический маятник с горизонтальной осью вращения имеет два возможных положения равновесия — верхнее и нижнее. Очевидно, что верхнее положение равновесия маятника практически нельзя осуществить, так как оно неустойчиво, а нижнее положение устойчиво и оно легко реализуемо. [c.456] Вопрос об устойчивости положения равновесия является частным случаем обш,ей задачи об устойчивости движения. Эта задача имеет в современной технике большое значение (двигатель должен устойчиво удерживать заданный режим работы, самолет, ракета, корабль должны устойчиво сохранять заданное направление движения и т. п.). Эти вопросы выходят за рамки настоя-ш,его курса, поэтому желаюш,им ознакомиться с общей задачей устойчивости движения мы рекомендуем обратиться к специальным руководствам ). Здесь же мы ограничимся только основными определениями и изложением теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.456] Достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы определяются следующей теоремой Лагранжа — Дирихле если в положении изолированного равновесия консервативной системы с идеальными и стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво. [c.457] Доказательство этой теоремы может быть получено как простое следствие теоремы Ляпунова об устойчивости движения (см. литературу, цитируемую на стр. 456). [c.457] Для консервативной системы, имеющей 5 степеней свободы,, устойчивость рассматриваемого положения равновесия также определяется из условия минимума потенциальной энергии. В этом случае критерий минимума имеет более сложный вид. Установить его можно следующим образом. [c.458] Здесь точками после квадратной скобки обозначены члены высшего порядка относйтельно , д . [c.458] Учитывая сделанные замечания, получим следующее разложение потенциальной энергии в ряд по степеням д- ,. .., да. [c.458] Предположим, что квадратичная форма в (20.13) определенно положительна. В этом случае вблизи положения равновесия 1 = 72 = -- = 5 = 0 квадратичная часть потенциальной энергии и полная потенциальная энергия будут положительны. Так как П (0) = О, то это означает, что потенциальная энергия будет иметь в этом положении минимум и, следовательно, положение равновесия устойчиво. [c.459] Вопрос о знаке любой квадратичной формы определяется следующей теоремой Сильвестра д 1я того чтобы квадратичная форма бы ш определенно положительной, необходимо и достаточно, чтобы есе главные диагональные миноры матрицы квадратичной формы были положительны. Доказательство этой теоремы можно найти в курсах линейной алгебры. [c.459] Вернуться к основной статье