ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие формулы из "Струи, следы и каверны " Теорема 5. Перечисленные выше свойства 1) —5) определяют функцию e t) = e t,a,k) с точностью до знака. [c.153] Из проведенного обсуждения формул (5.37) и (5.38) видно, что общий случай соударяющихся струй с единичной скоростью на всех свободных линиях тока зависит от 7 + 1 = 8 параметров (параметр А определяет а, но не k). Однако геометрическая конфигурация сопел зависит от семи параметров (величины р и относительного положения краев сопел). Следовательно, как и в случае свободно соударяющихся струй (гл. III, п. 4), течение естественными физическими условиями не определяется. [c.153] Очевидно, что теорема 6 указывает на важность функций e t, а, k) для теории течений, ограниченных двумя пластинами и двумя линиями тока. Учитывая значимость этих функций, имеет смысл вывести их выражение через тета-функции Якоби [87, гл, XXI]. Это будет, вместе с тем, доказательством существования функций e t а, k) для любого комплексного R и для любого модуля k, 0 й 1. Подробно все сказанное можно сформулировать в виде леммы. [c.154] Доказательство. Доказательство сводится к простой проверке. Проведем ее для случая 1т го Ф тгт/4, так как в другом случае оно еще проще. В соответствии с известным расположением нулей тета-функций, сразу видно, что к является регулярной функцией, не имеющей никаких других нулей, кроме гц = Хо- -1уй- На правой стороне прямоугольника 2 = и/2 + г 5. [c.154] аргумент функции /г всегда равен — 2Re(z o). Аналогичное доказательство проводится и для верхней стороны прямоугольника. [c.155] Из этого следует еще одна теорема. [c.155] По теореме 5, функции е 1,а-,к) являются единственными такими функциями. Согласно формулам (5.38а) и (5.126), они являются эллиптическими функциями тогда и только тогда, когда 1т а) К = р/2тг есть рациональная дробь р д. В этом случае периодами являются 21К, 2 /(, если знаменатель д четный, и 21К, АдК, если он нечетный. [c.156] Сходные течения. С только что определенными течениями тесно связаны аналогичные течения с неравными давлениями в различных областях, разделенных струями. [c.157] Допуская существование двух критических точек, получаем большое число возможных конфигураций с двумя пластинами в ограниченном или в безграничном потоках, пример которых показан на рис. 63,6. Здесь мы отсылаем читателя к весьма обширной литературе, имеющейся по этому вопросу ). Некоторые результаты относятся к случаю т 2 (см, п. 2) нескольких пластин другие результаты касаются течений с циркуляцией и многосвязных течений. [c.157] стремящаяся раздвинуть пластины (гл. IV, т 5), равна Р = р[ — к К ]. [c.160] Хотя некоторые примеры с особенностями и некоторые приближенные решения были даны раньше, первое явное построение симметричной каверны с точкой возврата (за криволинейным препятствием) было дано Лайгхиллом ). В этом пункте мы рассмотрим некоторые каверны с точкой возврата за телами обтекаемой формы. Рассматриваемый метод может быть применен вообще к упомянутому в конце п. 2 случаю двух изломанных пластин (клиньев), разделенных двумя свободными линиями тока. [c.160] Здесь (1с = (1п/сп, а П(/, а, к), как обычно, эллиптический интеграл третьего рода. Теперь остается только проверить, что течение, определяемое соотношениями (5.54) и (5.56), действительно имеет вид течения, изображенного на рис. 66, а. Детали этой проверки предоставляем читателю. [c.162] Путем интегрирования нельзя получить выражение для z в конечном виде. [c.163] 1—6 мы рассмотрим случай разделяющейся струи, предполагая, что течение удовлетворяет условиям 1)—3), гл. IV, п. 1. [c.167] Пусть струя ширины й разделяется криволинейным препятствием Р на две ветви 1, /г (рис. 68, а) ). Обозначим через С точку разветвления течения, а через А и В — точки, в которых поток отрывается от Р. Предположим, далее, что Р имеет конечную длину и конечную кривизну ), кроме, быть может, точки С, в которой граница Р может образовывать угол рте радиан. [c.167] Мы предположим, что поток ограничен твердыми стенками (смоченная часть АСВ препятствия Р) и свободными линиями тока при постоянном давлении. Как обычно, выберем единицы измерений так, чтобы было = 1 на свободной границе, а действительную ось направим параллельно биссектрисе угла АВС. [c.167] т(0 обращается в нуль на действительном диаметре области Г, т. е. функция 0( ) действительна на действительном диаметре области Г. [c.169] Теорема 1. Разделяющиеся струи около препятствий с углом при вершине р-п определяются выбором функции Q t), регулярной при i 1 и непрерывной при UI = 1, а также выбором постоянных М, ао, ai, а2. Зависимость z = z t) задается уравнениями (6.4), (6.5), (6.7) и (6.9). [c.170] Для решения этой задачи удобно сначала выразить геометрические параметры течения через неизвестную функцию Q t). [c.171] Вернуться к основной статье