ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение материальной точки по кривой и по поверхности из "Решение задач по теоретической механике Часть2 " При исследовании движения материальной точки в пространстве следует обратить внимание на определение сил, дей-ствующ,их на материальную точку. Без этого невозможно определить траекторию и характер движения точки. Особенно большое значение имеют задача о движении тяжелой материальной точки в пустоте и задача о движении материальной точки в центральном силовом поле. При исследовании движения большое значение приобретают общие теоремы динамики материальной точки. При решении задач необходимо использовать эти теоремы и их первые интегралы. Рассмотрим несколько конкретных примеров. [c.54] Пример 1. Материальная точка М массы т притягивается неподвижным центром О с силой Р = к тг, где к — постоянный коэффициент пропорциональности, г — расстояние точки М от О. В начальный момент расстояние = а скорость Уо образует с направлением ОМо угол а. Найти уравнения движения точки и ее траекторию, принимая прямую ОМо за ось х. [c.54] Эта сила направлена к оси Ох и обратно пропорщюнальна кубу расстояния от точки до оси Ох. [c.56] Пример 3. С крепостной башни производят два выстрела, причем начальные скорости снарядов оказываются равными по величине и лежат в одной и той же вертикальной плоскости. Эти начальные скорости направлены под углами ах и сс2 к горизонту. Оба снаряда попадают в одну и ту же точку на поверхности Земли. Найти высоту /г башни, предполагая, что поверхность Земли вокруг башни горизонтальна и что сопротивление воздуха отсутствует. [c.56] Пример 4. Материальная точка описывает параболу у =2рх под действием двух равных по величине сил, одна из которых направлена к фокусу параболы и обратно пропорциональна расстоянию точки от этого фокуса. Другая сила парал-лельна оси абсцисс и направлена в положительную сторону этой оси. Показать, что точка движется по параболе равномерно и определить величину скорости точки. [c.57] Пример 5. Материальная точка массы т описывает окружность радиуса а, притягиваясь некоторой точкой А этой окружности. Найти силу притяжения и скорость точки в зависимости от расстояния точки от Л. [c.58] В начальный момент точка находится на оси Ох на расстоянии Хо от начала координат, а ее скорость параллельна оси Оу и равна 0- Определить траекторию точки. [c.59] При исследовании движения материальной точки по кривой положение точки определяется всего одним параметром, а следовательно и для определения движения достаточно знать всего одно уравнение движения, в которое не входит лишних неизвестных. Такое уравнение может быть получено либо при помощи теоремы живых сил, либо из естественных уравнений движения. Другие уравнения дают возможность определять реакции связей. [c.61] Пр и мер 1. Тяжелое колечко массы т надето на гладкую вертикально расположенную проволочную окружность радиуса г. Колечко может свободно передвигаться по ней. В начальный момент оно находится в самой нижней точке окружности и ему сообщена начальная скорость Uq- Найти условия, при которых колечко совершит полный оборот по окружности и определить давление на нее колечка, когда оно находится в самой верхней ее точке. [c.62] Здесь положительное значение реакция N получает тогда, когда она направлена вверх. [c.63] Нетрудно видеть, что единственным действительным корнем этого уравнения является значение у=. Это и будет то значение у, при котором точка отрывается от параболы. [c.64] Пр И м е р 3. Тяжелый шарик, масса которого равна /п, на низан на горизонтальную проволочную окружность радиуса г с коэффициентом трения Определить, какую начальную скорость Уо нужно сообнднть шарику, чтобы он сделал по окружности один полный оборот. [c.64] Пример 4. Тяжелая материальная точка движется по внутренней поверхности прямого кругового конуса, вершина ко-торого обращена вниз, а ось симметрии вертикальна. Угол при вершине равен 2а. В начальный момент расстояние точки от вершины конуса равно а, начальная скорость равна vq и направлена перпендикулярно к образующей конуса. Определить траекторию точки и давление, которое она оказывает на поверхность конуса. [c.65] Пр и мер 5. Тяжелая материальная точка вынуждена оставаться на совершенно гладкой плоскости, которая равномерно вращается вокруг горизонтальной оси, расположенной в самой плоскости. В начальный момент точка находится на оси вращения, а ее скорость направлена вдоль оси вращения и равна Vq. Определить закон движения точки. [c.67] Пример 6. Материальная точка весом р подвещена при помощи двух одинаковых нитей к двум опорам, находящимся на одном и том же горизонтальном уровне, причем угол наклона каждой нити к вертикали равен а. Внезапно одну из нитей перерезают. Доказать, что натяжение другой нити мгновенно изменится в отнощении 1 2 соз а. [c.68] в течение какого времени точка, выходя с ничтожно малой начальной скоростью из положения (—2г, 0), достигает положе ния (О, —2г). [c.74] Определить, при каком соотношении начальных условий точка М будет описывать окружность в горизонтальной плоскости и каково будет время обращения точки М по этой окружности. [c.75] Вернуться к основной статье