ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейные плоские колебания на эллиптической орбите из "Движение искусственного спутника относительно центра масс " Отметим, что с увеличением /г от О до 1 картина интегральных кривых на плоскости (а, у) эволюционирует так, что максимальные значения а увеличиваются. [c.89] Эта формула дает выражение амплитуды колебаний через эксцентриситет орбиты в резонансном случае. [c.91] Подробный анализ периодических решений уравнения (2.3.5) проведен в работах [66, 37]. В работе [72 также рассматривались решения уравнения (2.3.5), близкие к произвольным решениям на круговой орбите. Это же уравнение рассматривается в [43]. [c.93] Такой прием позволяет рассмотреть движение как в области колебаний, так и в области враш,ений. [c.93] ОСЬЮ инерции с моментом С и радиусом-вектором, то вращение с постоянной угловой скоростью й = т/2 возможно лишь при условии, что в перигее одна из главных центральных осей инерции направлена по радиусу-вектору. [c.95] Наиболее интересен случай главного резонанса (т = 2) в остальных случаях вращение спутника на орбитах, близких к круговым, будет почти равномерным. В случае круговой орбиты и т = 2 осредненное уравнение (2.7.19) совпадает с точным уравнением колебаний в орбитальной системе. При любых е случай т — 2 соответствует периодическому решению уравнения (2.3.5) колебаний в орбитальной системе. [c.95] Для значений эксцентриситета, отличных от нуля, эти решения являются порождающими. На круговой орбите тривиальные решения при положительных определяют положение устойчивого равновесия. [c.97] Положительные значения 0(0) ниже кривой разветвления соответствуют решению 0о. [c.98] Если 1Л1 1, то корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными и периодическое решение в первом приближении устойчиво. Уравнение И1 = 1 дает границу области устойчивости периодического решения. Если 1Л1 1, периодическое решение неустойчиво. [c.99] Значения х 2п) и Х2 2п) определялись численным интегрированием уравнения в вариациях (2.7.20). Результаты исследования корней характеристического уравнения (2.7.21) представлены на рис. 17, где в плоскости п , е построены границы областей устойчивости периодических решений (тонкие линии) и кривая разветвления (жирная линия), выходящая из точки ( =1, б = 0). Область Ез существования трех периодических решений расположена на рис. 17 левее и выше кривой разветвления. Одному периодическому решению соответствует область Ей расположенная правее и ниже кривой разветвления. [c.99] Расчет границы области устойчивости решения 0-при б 1 сопряжен с большими трудностями, так как уравнение (2.3.5) имеет особенность при 6=1, v = = (2к+1)п (й = 0, 1, 2,. ..). По-видимому, при п 0 обе граничные кривые, сливаясь, подходят с вертикальной касательной к точке (/г =0, 6=1), а при п 0 асимптотически стремятся к прямой 6 = 1. [c.101] Из результатов работ [2, 58] вытекает, что необходимые условия устойчивости периодических решений уравнения (2.3.5), полученные при рассмотрении по первому приближению, являются и достаточными для почти всех значений параметров е. [c.101] Рассмотрим теперь поведение решений в окрестности исследованных периодических решений. Наглядной характеристикой автономной системы с одной степенью свободы является ее фазовый портрет. Для неавтономной системы с периодическими коэффициентами аналогичную роль играет стробоскопическая картина, образуемая точками фазовых траекторий в дискретные моменты времени, отличающиеся друг от друга на величину, кратную периоду системы. Сдвиг времени на период определяет преобразование точек фазовой плоскости. Периодическому решению отвечает неподвижная точка такого преобразования. Периодическое решение будет устойчивым, если образ достаточно малой окрестности неподвижной точки остается малым при произвольном числе последовательных преобразований при этом стробоскопическая картина фазовых траекторий, близких к периодическим, дает замкнутые кривые, окружающие неподвижную точку. [c.101] Устойчивость этих решений определяется коэффи-циентом А характеристического уравнения. [c.103] Вернуться к основной статье