ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Комментарии из "Введение в теорию концентрированных вихрей " При 0 — 0 получаем в пределе й 0д/2р00 =б/0/2р0, что в точности совпадает с (5.19). Таким образом, в точке / = / логарифмические особенности от двух интегралов взаимно исключаются. [c.257] Здесь учтено, что волновое число к = 1/йт, а р = йт при т 1. Данное выражение в точности совпадает с формулой Кельвина (4.58) для длинных винтовых волн на колоннообразном вихре с равномерным распределением завихренности в ядре радиуса s. Напомним, что в предыдущем параграфе аналогичная формула была получена методом усечения, а параметр усечения был определен именно путем сравнения с формулой Кельвина (4.58). [c.260] Расчет Н по формуле (5.37) при т = 5 с точностью 7-10 достигается при учете 74 членов ряда, а по формуле (5.38) достаточно двух членов ряда. Члены ряда (5.38) имеют порядок т и процесс ускорения сходимости может быть продолжен. [c.262] Сравнивая с (5.28), видим, что при т - оо Ско = ms + 1 /4. [c.263] На рис. 5,9 асимптотика (5,39) сопоставлена с зависимостью, рассчитанной по формуле (5,36) с учетом 5 членов ряда (5,38), и с расчетами из Ri a [1994] в диапазонах 5 т 12 и 29 т 37. [c.263] Сравнивая с (5.42), видим, что при любом значении щага Ско == ms +1/4. [c.267] Таким образом, для вычисления самоиндуцированной скорости можно пользоваться как соотнощениями (5.42), (5.43) с функцией 1 (т ), представленной интегралом, так и соотношениями (5.36), (5.37) с функцией Н(х), представленной бесконечным рядом от модифицированных функций Бесселя. [c.267] Поскольку установлена точная взаимосвязь величин Ско и Смз, выражения (5.36), (5.37), (5.42), (5.43) или (5.44) в соответствии с (5.25) могут быть использованы для определения самоиндуцированной скорости винтового вихря с равномерным распределением завихренности в ядре. [c.268] Таким образом fi = 0, а коэффициент а, - мнимый, поэтому положим а, =iF, где F - действительная функция. [c.269] решение задачи о распространении уединенной волны вдоль вихревой нити получено в переменных кручение - кривизна. Восстановление пространственной формы кривой по заданным значениям кручения и кривизны является стандартной задачей теории кривых, которая решается с помощью уравнения Риккати. Однако процедура вычислений весьма громоздка, поэтому мы опишем ее только вкратце и сразу приведем конечные результаты. [c.271] Уравнения записаны в индексном виде, причем справедливо соотношение i + nj +bf = . [c.272] Здесь в выражении для г учтено (5.58). [c.272] Как видно, единственным параметром, характеризующим форму солитона, является величина Г, представляющая собой отношение кручения т = onst к максимальной кривизне V = i nax/2. Типичные формы солитона показаны на рис 5.12 в проекциях на плоскости ху, хг, yz w ъ изометрической проекции при различных значениях параметра Т. Штриховой линией на рис. 5.12d показана огибающая радиуса г, значение которого меняется от r = 2 l/v при X = О до нуля на бесконечности. Максимальная кривизна достигается при X = О. Как следует из рисунков, солитон представляет собой спираль, ограниченную огибающей. Однако форма спирали сильно зависит от значения параметра Г. При Г 1 и 2 являются однозначными функциями X. Так как кручение t О в силу условия (5.56) и предположения Сд О, то направление закрутки спирали правое (правая спираль), а параметр Т также положителен. Если Т = 1, то dX/dL = О при L = X = О и на огибаюшей появляется заострение, хотя на вихревой нити никаких сингулярностей пе наблюдается. [c.273] Заметим, что умножение на мнимую единицу г означает поворот вектора у + гг) на 90° против часовой стрелки. Однако в хю входит еще коэффициент (КГ ), поэтому результирующее направление вращения спирали зависит от параметра Т. [c.276] Вернуться к основной статье