ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неустойчивость Q-вихря. Невязкий анализ из "Введение в теорию концентрированных вихрей " Задача об эволюции начальных возмущений решается Arendt et al. [1997J на основе линеаризованных уравнений Эйлера и условий сопряжения па вихревой пелене (типа выписанных в п. 4.4.1) с применением преобразования Лапласа. Рассмотрим случаи т = О, -1, -2 с соответствующими начальными условиями. [c.206] Для наименьшего корня 7о = 7oi получаем максимальную фазовую скорость = 2Q/l,2, которая почти совпадает со значением окружной скорости на границе ядра вихря. Видно также, что в длинноволновом пределе осесимметричные волны являются бездисперсионными. [c.208] Если т = -, то ось возмущенного вихря становится правовинтовой. Но выводы остаются прежними. Действительно, правая часть в (4.57) не меняется, так как Первый член слева также не меняется, поскольку функция Бесселя меняет знак и в числителе, и в знаменателе. В остальные члены т входит как комплекс тО.. Изменение т от (+1) до (-1) эквива 1е1плю изменению направления вращения жидкости. Таким образом, возмущение опять движется против направления вращения жидкости. Схематично оба случая изображены иа рис. 4.23. [c.210] Напомним, что здесь фазовая и групповая скорости определены по аксиальному волновому числу и поэтому означают скорости распространения фазы и энергии возмушений вдоль оси вихря. [c.212] По-прежнему элементарное гармоническое возмущение представляем через экспоненту ехр[г(/ег + тО - o i)], и по-прежнему справедливо дисперсионное уравнение (4.48). Однако поскольку здесь используется обозначение ш для завихренности, то круговую частоту обозначим как со , где индекс п имеет смысл радиального числа (или номера корня уравнения (4.48) при фиксированном т). [c.213] Описанный процесс позволяет рассматривать распространение осесимметричных возмущений на вихревой трубке как процесс скручивания и раскручивания вихревых линий, что хорошо видно и для волн Кельвина. Рис. 4.29 демонстрирует мгновенные картины распределения щ, дсо dt и волны Кельвина с т = 0, п = О и /г = 1 / / (в работе Arendt et d. [1997] n = 1). [c.216] Взаимосвязь эволюции начального возмущения с волнами Кельвина дает возможность объяснить сложну ю структуру течения на рис. 4.26-4.28. Причина состоит в том, что для ш = о имеется множество мод с разным радиальным числом п (номером корня уравнения (4.51)), которые имеют различную радиальную структл ру (чем выше п, тем более сложную) и различные частоты. С другой стороны, волны Кельвина обладают дисперсией (см. рис. 4.22). [c.216] Обратим внимание, что уравнение (4.63) инвариантно относительно преобразования q — -q, т — -т, т. е. если изменить знак азимутальной моды, то результат останется прежним при одновременном изменении направления закрутки потока. Это утверждение очевидно при отсутствии осевого движения, но нетривиально при W О. [c.217] Типичные примеры расчетов приведены на рис. 4.33-4.35. В случае положительной азимутальной моды т = + , рис. 4.33) фазовая скорость с,, монотонно растет с увеличением волнового числа, в то время как зависимость (k) при фиксированном q имеет локальный максимум. Видно, что крутка стабилизирует течение (относительно возмущений с т = + ). Полная стабилизация наступает при некотором критическом значении q, равном 0,0739 (по уточненным расчетам Mayer, Powell [1992]). [c.218] Тем самым С -вихрь существенно отличается от вихря Рэнкина с аксиальным протоком, неустойчивым при любых значениях крутки (см. рис. 4.156,г). Фазовая скорость отрицательных мод растет с увеличением к (рис. 4.35а), как и в случае положительных т. [c.219] Вернуться к основной статье