ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вдавливание эллиптического в плане штампа в полупространство из "Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел " Все величины 3 могут быть выражены через полные эллиптические интегралы К(е) и Е(е). [c.44] Из фотмул (3), (4) видно, что J(x, у) является полиномом степени N. Приравнивая интеграл J(x, у), как это следует из уравнения (2.8), выражению 2-квё(х, у), где ё(х, у) имеет вид (1), получим соотношение, в левой и правой частях которого стоят полиномы по X, у степени N. Далее, приравнивая коэффициенты этого соотношения при одинаковых степенях х я у, найдем систему (N + l) N + 2)/2 линейных алгебраических уравнений, служащую ДЛЯ определения связи (N+ )(N+2)/2 постоянных a J и 6,- . Решив эту систему, получим по формуле (2) решение интегрального уравнения (2.8) для случая (1) и эллиптической области контакта С1. [c.44] Здесь я гПу — проекции плеча приложения силы Р, отсчитываемого от центра симметрии штампа, на оси х я у. [c.46] Если / = е , то при уменьшении Р отрыв происходит сразу по всей кромке штампа и в качестве условия безотрывности можно использовать (20) или, что равносильно, (22). [c.48] Здесь (рис. 1.3 б, в) область контакта будет очерчиваться контурами I (частью контура Ь) и /[. Величины Р и Р будут определены ниже. На I контактное давление будет обращаться в бесконечность, а на 1 — в нуль. Такие случаи задачи до сих пор не изучены. [c.48] Формулы, аналогичные (23), (25)-(27), получаются и в известной задаче Герца о локальном контакте двух упругих тел [5, 7]. [c.49] Все сказанное имеет место при Л. 2- При - 1 - 2 Лля сохранения формул (23), (25) и (27) нужно поменять местами Л. и Л2 в (26), (28), а также в исходной постановке считать, что большая полуось кромки штампа ориентирована по оси у, а меньшая по оси X. [c.50] Величины /Г и Р получим, полагая в (27) а. = а и а Ь соответственно. При этом 6 и е. находятся из формул (26), где также нужно положить а. = а или а. = Ь. [c.50] Здесь а и /3 — углы поворота штампов вокруг осей у и х, у. и х. соответственно, которые будут иметь место в силу взаимодействия штампов. [c.50] Решение интегрального уравнения (33) дается формулой (10), где надо положить а = /3 = 0и 6 = 6. Подставляя это выражение в формулы (34), получим систему трех алгебраических уравнений для определения величин 8, А п В, что предоставляем сделать читателю. В результате найдем асимптотическое при больших значениях Л решение задачи о внедрении двух штампов (выражение для контактного давления д х, у)) с точностью до членов порядка 0(Л ). С той же точностью затем по первой формуле (1.22) и формулам (35) найдем выражения для 6, а и 13. [c.52] Заметим, что подобно изложенному может быть получено асимптотическое при больших Л решение задачи о вдавливании в полупространство двух эллиптических в плане штампов с параболическими основаниями. Если в этом случае потребовать обращения в нуль контактного давления д(х, у) на контуре области П, то можно прийти к выводу, что области контакта П и штампов с полупространством будут эллиптическими лишь с точностью до членов (А ), причем получаются два соотношения, аналогичные (26) и служащие для определения полуосей С1. [c.52] Будем предполагать, что плечо тп приложения силы Р к штампу таково, что штамп перемещается лишь поступательно по оси 2 без перекосов. [c.53] Формула (38) будет иметь достаточную для практики точность, если наименьшее расстояние между границами эллипса и кругового отверстия Л. 2Л. Внедрение штампа 8 и проекции тп и тПу плеча приложения вдавливающей силы на оси х и у можно найти после подстановки (38) в формулы (1.22) и вычисления двукратных интегралов. [c.53] Заметим, что упрощение формулы для Р также достигнуто с использованием тождества (10). Еще заметим, что при е - О формулы (11), (12) переходят в формулы (3.30) и (3.32). [c.57] В таблицах 1.4 и 1.5 даны значения величин А, В, С, В, Е, Р, С, Н и I, посчитанные при г/= 0.3 для различных значений е . [c.57] Заметим, что подобно изложенному может быть получено асимптотическое при больших А решение задачи о вдавливании в слой эллиптического в плане штампа с параболическим основанием (6(х, у) = 6 - x /(2Ri) - y /(2i 2))- Если в этом случае потребовать обращения в нуль контактного давления q(x, у) на контуре области контакта il, то можно убедиться, что область контакта будет эллиптической лишь с точностью до членов 0(А ), причем получаются два соотношения, аналогичные (5.26) и служащие для определения полуосей l. [c.58] Внутреннее решение (1) дает для q(x, у) тем более точные результаты, чем дальше удалена рассматриваемая точка (х, у) Ёглубь области U. Представим его в другой форме, более удобной, нежели (1), для практического использования. [c.60] Формулы (9)-(11) получены без учета решения типа пограничного слоя интегрального уравнения (1-21) в области Q о и поэтому ими можно пользоваться лишь при очень малых значениях параметра д (примерно при д 1/4). [c.61] Проведем из точки А(х, у) е нормаль к контуру Ь. Пусть длина этой нормали п, а точка пересечения ее с контуром В х1,у ). Выберем на контуре Ь какую-либо точку О(жо, %) в качестве начала и измерим расстояние 5 между точками О и В по контуру Ь. Величины п и. 5 примем за новые координаты точки А в криволинейной системе координат (п, з). При условии —1/2 з 1/2 (I — периметр контура Ь) каждой паре чисел (х,у) в области 7 будет соответствовать только одна пара чисел (п, 5) и наоборот. [c.62] Отсюда видно, что главный член асимптотики решения интегрального уравнения (14) при малых /х не будет, по сути дела, зависеть от кривизны контура L в той или иной его точке. [c.63] Вернуться к основной статье