ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Глава У Плоские контактные задачи для упругих тел с тонкими покрытиями (прослойками) Передача давления от жесткого штампа через покрытие на упругую полосу из "Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками " Следовательно, здесь Ы , и)==М(и, o ), что является непосредственным следствием закона взаимности работ Бетти в теории упругости. В дальнейшем, однако, будем пользоваться формулами (5.1). [c.322] Лри помош и (5.6) и (5.7) легко обнаружить, что второе граничное условие (5.5) попросту эквивалентно соотношению (5.4), выражающему условие равновесия шара или всей оболочки в целом. [c.322] Следует отметить, что определенные по безмоментной теорни формулами (5.9) и (5.10) перемещения Uf и и Р будут истин-пыми перемещениями точек оболочки в том и только в том случае, когда имеет место соотношение (5.8), выражающее условие неразрывности (совместимости) деформаций ее срединной поверхности. [c.323] Подчеркнем, что, как утверждалось выше, при произвольных напряжениях а( ) и т( ) выражениям (5.9) и (5.10) не соответствуют действительные перемещения точек оболочки, поскольку уравнение неразрывности деформаций (5.8) будет нарушено. Однако если эти выражения в силу условий (5.11) отождествить с действительными перемещениями граничных точек упругого шара, то тем самым будет наложено ограничение на контактные напряжения a(fl ), т(А ) и в определенном смысле будет удовлетворено уравнение неразрывности (совместимости) деформаций оболочки. В конечном итоге можно считать, что последнее уравнение вследствие указанной трактовки условий контакта (5.11) окажется нарушенным в меньшей степени. Придерживаясь этой точки зрения, примем такую постановку задачи, когда выражения (5.9) и (5.10), определяемые по безмоментной теории тонкой сферической оболочки, в силу условий (5.11) в зоне контакта отождествляются с действительными перемещениями граничной поверхности упругого весомого шара. [c.324] Следовательно, придерживаясь точности теории тонких оболочек. [c.326] условие (5.23) вместе с иринятой безмоментной теорией обеспечивает отсутствие моментов пе только в бесконечно малых (дифференциальных) элементах оболочки, по п в ее волокнах, растянутых вдоль меридиана. [c.328] Таким образом, интегро-дифференциальное уравнение (5.21) должно рассматриваться вместе с условиями (5.22) и (5.23). [c.328] Резюмируя, можем утверждать, что вторая постановка разбираемой задачи, основанная на условиях контакта (5.12) и па уравнении иеразрывиости деформаций оболочки (5.8), полностью соответствует замкнутой системе теории тонких оболочек и ре-1пеиие задачи сводит к решению интегро-дифференциального уравнения (5.24) при условиях (5.25) и (5.26). [c.329] Наконец, обсудим постановку данной задачи, когда сферический пояс весьма узкий ( tg с с 1). В этом случае каждое волокно пояса вдоль меридиана с большой точностью может рассматриваться как прямолинейная стержень-накладка, подверженная только действию тангенциальных контактных напряжений. Иными словами, с большой точностью можно принять гипотезу Кирхгофа для пластин, вследствие чего радиальными контактными напряжениями по сравнению с тангенциальными можно пренебречь. [c.329] Таким образом, третья постановка задачи, основанная иа дону-щении а( д ) О в контактной зоне, приводит к интегральному уравнению (5.28) нри условии (5.29). [c.329] В дальнейшем в основном будем иметь дело с последними двумя постановками задачи и будем существенно пользоваться малостью ширины зоны контакта, т. е. узостью сферического пояса. [c.329] С этим возникает необходимость изучения структуры ядер (5.2), входящих в формулы (5.1), а также ядер (5.17), входящих в формулу (5.16). Выделение главных частей указанных ядер можно произвести предложенной в [2] методикой или из замкнутого решения, построенного в [17]. Однако в данном случае проще и удобнее воспользоваться другой методикой, основанной на асимптотическом разложении полиномов и присоединенных функций Лежандра. [c.330] на основе формул (5.32) —(5.34) ядра пз (5.2) могут быть представлены суммой своих главных п регулярных частей, прптом последние выражаются довольно быстро сходящимися рядами. Последние представления дают возможность систему уравнений (5.13) привести к одному интегральному уравнению относительно комплексной комбинации Оо( ) п to(g) с ядром, выражающимся суммой главной части ядра в впде комплексной комбинации логарифмической и сигнум функций и его регулярной части. Па этом, однако, здесь останавливаться не будем. [c.332] Отметим, что левая часть первого условия (5.43) имеет порядок О(с ), и поэтому в рамках принятой точности им можно пренебречь. Следовательно, это условие вообще отпадает, и остается только второе условие (5.43). С другой стороны, поскольку в указанной упрощенной постановке ао( ) фактически совпадает с осевым напряжением в пакладке, которое на ее нижнем краю обращается в нуль, то можно положить до = 0. [c.337] Следует отметить, что бесконечная система (5.48) по своей структуре идентична бесконечной системе (2.28) с ядром (2.32) гл. II. Следовательно, все результаты о регулярности бесконечной системы (2.28) гл. II полностью переносятся на (5.48), и поэтому на них здесь останавливаться не будем. [c.339] Резюмируя сказанное, можно утверждать, что картина распределения основных механических характеристик в узком сферическом поясе (обруче) в поставленной задаче качественно совпадает с картиной распределения характеристик в прямолинейной накладке, жестко сцепленной с упругой плоскостью или лолуплоскостью. [c.340] Пусть С поверхностью упругого слоя толщины я, лежащего без трения иа недеформируемом основании, шарнирно сцеплен тонкий слой 0 у h. Предположим, что в верхнюю грашщ5 такой составной среды вдавливается без трения силой Р жесткий штамп (рис. 5.1), поверхность осповапия которого описывается функцией у = fix), а линия контакта определяется неравенством 1x1 а. [c.341] Для вывода интегрального уравнения поставленной задачи сформулируем две вспомогательные задачи. [c.341] Вернуться к основной статье