ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Упругие полуплоскость и плоскость, усиленные системой двух накладок из "Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками " В постановке, изложенной в предыдущем параграфе, рассмотрим смешанную задачу о передаче нагрузки от накладки (стрингера) конечной длины и переменной жесткости на растяжение к упругой полуплоскости и плоскости. [c.106] Пусть упругая полубесконечная пластина толщины 2 на конечном отрезке своей границы усилена жестко сцепленной с ней накладкой длины 2а и толщины Пусть, далее, пластина на бесконечности подвержена равномерному растяжению с интенсивностью Ро, а пакладка но своей верхней грани нагружена тангенцпалышми силами интенсивности т+(а ) и одновременно на ее концах действуют сосредоточенные силы Р, и Рз (рис. 2.4). Требуется определить закон распределения тангенциальных контактных напряжений, их интенсивность на концах накладки, а также осевые напряжения в ней. [c.106] Кроме того, введем в рассмотрение понятие эффективной ширины с = с эфф контактной зоны, по которой накладка фактически скреплена с пластиной. [c.107] Таким образом, решение поставленной контактной задачи в разбираемом случае в конечном итоге сводится к решению сингулярного интегро-дифференциального уравнения (2.12) при граничных условиях (2.13). Уравнение (2.12) и представляет собой известное интегро-дифференциальное уравнение Прандтлй из теории крыла конечного размаха [21]. [c.109] Таким образом, поставленная задача во всех указанных трех случаях математически формулируется в виде единого интегро-дифференциального уравнения (2.12) при граничных условиях (2.13), а переход к конкретным случаям осуществляется при помощи формул (2.8), (2.14) и (2.15). [c.110] Следует отметить, что изложенная здесь постановка задачи несколько шире, чем в предыдущем параграфе, где неявно предполагалось, что 1 = 2 = й. [c.110] В классических контактных задачах линейной теории упругости особенности, присущие контактным напряжениям на концах участков соприкосновения упругих тел, имеют, вообще говоря, вид квадратного корня. Оказывается, что особенности такого же типа присущи контактным напряжениям на концах упругих накладок и в случае класса рассматриваемых нами задач. Для доказательства этого факта, следуя работе [2], воспользуемся некоторыми результатами из монографии [23], относящимися к поведению интеграла типа Коши вблизи концов линии интегрирования. Нужный для нашей цели результат из [23] состоит в следующем. [c.112] Беря наименьшие положительные корни этих уравнений, непосредственно находим а = = 1/2. [c.114] Отметим, что % %, 0) = 1/я (—1 1). Это следует из того, что, когда 1 = 0, уравнением (2.12) описывается классическая контактная задача о вдавливании жесткого штампа с плоским основанием в упругую полуплоскость и формулой (2.24) должно даваться известное решение Садовского этой задачи [24, 25]. Из рассмотрения получаемых далее бесконечных систем линейных уравнений следует, что по крайней мере в некоторой окрестности точки Л = О функция и по X является непрерывной функцией. Поэтому по крайней мере в некоторой окрестности точки X = 0. Сказанное и означает, что присущие контактным напряжениям особенности на концах упругой на-кл адки характеризуются квадратным корнем по формуле (2.24). [c.114] Теперь изложим методику сведения интегро-дифферепциаль-ного уравнения (2.12) при граничных условиях (2.13) к эквивалентной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Тем самым к этой бесконечной системе сведется и интегральное уравнение (2.16). [c.114] Таким образом, интегро-дифференциальное уравнение (2.12) при граничных условиях (2.13) эквивалентно бесконечной системе (2.28). [c.115] при условии (2.31) бесконечная система (2.28) вполне регулярна. [c.117] Здесь — соответственно четные и нечетные компоненты заданной нагрузки /( ). [c.119] С другой стороны, поскольку 82 -1 - -О и 8211- о при к и любом значении параметра к, то указанные бесконечные системы в общем случае, когда О Я, °о, квазивполне регулярны. [c.121] Следует отметить, что интервалы полной регулярности (2.47) и (2.48), полученные в работе [26], шире, чем интервал (2.34), и шире, чем интервалы, первоначально полученные в работах [29, 30], а также в [31]. [c.121] Рассмотрим несколько частных случаев и соответствующие решения проиллюстрируем численными расчетами. [c.122] В данном случае нужно решить бесконечную систему (2.28) с ядром (2.53) и при правых частях (2.54), подставляя в последние формулы коэффициенты Ур из (2.55) и учитывая, что = 0. При различных значениях параметров X и бо на ЭВМ ЕС-1022 была решена соответствующая (2.28) укороченная система линейных уравнений, состоящая самое большее из 40 уравнений. Затем по формуле (2.50) в различных точках были вычислены значения тангенциальных контактных напряжений т( ). Коэффициенты их интенсивности на концах накладки и Лг были вычислены по формулам (2.51). Результаты вычислений, полученные с точностью до 10 приведены в табл. 2.2—2.5. [c.123] Со = 2 значения т( ) в интервале (—1, 0) убывают, а в интервале (О, 1) возрастают, притом они в окрестности точки = —1 меньше, чем в окрестности точки = 1. К последнему заключению можно прийти также при помощи табл. 2.2. Это объясняется тем, что на правом конце накладки приложена сосредоточенная сила. [c.124] Кроме того, легко видеть, что почти во всех точках интервала (—1, 1), за исключением нескольких точек вблизи точки = 1, при возрастании параметра X напряжения т( ) заметно падают. Возрастание параметра X можно истолковать как увеличение полудлины накладки а или уменьшение жесткости системы накладка — полуплоскость Е1/Ег. [c.124] Вернуться к основной статье