ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вывод основных уравнений для тонких упругих покрытий (прослоек) в плоском случае путем асимптотического интегрирования уравнений теории упругости из "Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками " Рассмотрим прямоугольную пластинку, длина которой 2а много больше ширины 2к, т. е. параметр е = к1а достаточно мал. [c.34] Пластинка по большим сторонам нагружена нормальными и касательными усилиями (рис. 1.2), причем выполнены условия равновесия (2.4), малые стороны свободны от напряжений. [c.34] Напряжения по-прежнему выражаются формулами (4.1). [c.36] Полученные выражения (4.12) полностью совпадают с (3.3), если в последних справа отбросить члены порядка и выше. [c.38] Заметим, что в выражениях (4.18) остались неопределенными коэффициенты Di ( = 2, 3,6,7) при последних слагаемых. Нетрудно убедиться, что эти слагаемые представляют собой однородные при y = h решения задачи и не дают вклада в выражения для Т х), Q[x) и М[х). В силу последнего при интегральном удовлетворении граничным условиям на краях пластины х = а указанные коэффициенты можно положить равными нулю. [c.40] Относительно поточечного удовлетворения граничным условиям при х = а с помощью выражений (4.16)—(4.18) можно сказать следующее. Хотя точно удовлетворить условиям свободного края при X = а в отличие от случая первого приближения (4.8) здесь не удается, тем не менее возможности для поточечного удовлетворения граничным условиям при х = а в данном случае шире, ибо выражения для напряжений (4.16) содержат большее количество коэффициентов Di (семь вместо трех), подлежащих определению. [c.40] При этом выражения для перемещений теперь уже получим по полным формулам (4.4) (для и) и (4.5), а напряжения, как. и ранее,— по формулам (4.1). Удовлетворяя далее граничным условиям по большим сторонам пластины у = h, найдем выражения для Aiix) а = 1, 2, 3, 4), которые уже будут содержать одиннадцать (вместо семи) постоянных D , подлежащих определению, причем восемь из них будут коэффициентами перед слагаемыми, являющимися однородными при у = h решениями задачи, не вносящими вклада в выражения для Tix), Qix) и Mix). Таким образом, возможности для поточечного удовлетворения граничных условий при х = а становятся еще шире для приближенного удовлетворения этих граничных условий может быть, например, использован метод коллокации. [c.42] Заметим, что в изложенной схеме построения асимптотического при малых е решения плоской задачи о равновесии пластины в едином процессе с заданной точностью по находится как внешнее асимптотическое разложение (проникающее решение), так и внутренние по отношению к краям пластины х = а асимптотические разложения (локальные решения типа погранслоя ). Таким образом, изложенная схема может рассматриваться как модификация, применительно к задаче о цилиндрическом изгибе пластины, общего асимптотического метода реше-пия задачи об изгибе толстой плиты [9, 101. [c.42] Найдем еще выражения для усредненного ио у перемещения Пг верхнего слоя пластинки и перемещения 1 точек нижней границы нижнего слоя пластинки, к которой приложена нагрузка.. [c.43] Для случая плоского напряженного состояния следует в формулах (4.23)—(4.25) заменить Ех соответственно на модули Юнга Е1 слоев пластинки. [c.44] Вернуться к основной статье