ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Изолированные резонансы при контактном взаимодействии массивных тел с полуограниченными средами. О. Д. Пряхина, Ворович, О. М. Тукодова из "Механика контактных взаимодействий " Исследование динамических контактных задач для многослойных сред с расположенными в них дефектами (полостями или упругими включениями) связано с многочисленными трудностями как чисто теоретического, так и практического характера. Это обусловлено тем, что исследуемая область характеризуется большим количеством параметров, которые определяют соотношения упругих и геометрических характеристик слоев, положение полости по отношению к границам раздела сред и поверхности, форму границы неоднородности (полости или включения). Кроме того различные части границ области (границы слоев и неоднородности) описываются в различных системах координат, даже в случае полости (включения) канонической (крз -овой или эллиптический цилиндр, сфера, эллипсоид) формы. Еш,е сложнее комплекс проблем в случае неоднородности сложной формы. Указанные факты, по-видимому, определяют весьма ограниченное количество публикаций, посвяш,енных данной проблематике как в отечественной, так и в зарубежной литературе. [c.311] Отмеченные сложности определяют также и многообразие подходов к решению задач. Наиболее распространен при их исследовании метод, опираюш,ийся на использование принципа суперпозиции, позволяюш,его для неоднородности канонической формы, целиком расположенной в одном из слоев структуры, точным образом свести краевую задачу к системе интегро-функциональных уравнений. В случае, когда неоднородность пересекает границу слоя (полупространства), или имеет произвольную форму, наиболее перспективно использование методики граничных интегральных уравнений (ГИУ) и реализуюш,их ее на ЭВМ метода граничных элементов (ГЭ). Использование метода конечного элемента в данной проблематике практически ограничено исследованием задач нестационарного контактного взаимодействия при относительно малых временах и некоторых ограничениях на импульс силового воздействия (его частотный спектр). [c.311] Краткое изложение особенностей использования различных методов решения контактных задач для слоистых сред с неоднородностями будем проводить по мере усложнения их постановки и методов решения. [c.311] Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312] Решение задачи о колебаниях слоя (полупространства) с полостью канонической формы при заданных на его гранях напряжениях строим в виде суммы решений вспомогательных задач для слоя и полости в пространстве. Взаимное положение границ учитывается связью локальных систем координат (декартовых и криволинейных), в которых получены решения вспомогательных задач. При объединении слоев используются заданные условия их контакта. При жестком сцеплении имеем условия непрерывности компонент векторов смещения и напряжения при переходе через границу раздела упругих параметров. [c.312] Для наглядности и в связи с ограниченностью объема публикации проиллюстрируем описанную выше схему исследования на примере решения контактной задачи для двуслойного полупространства с заглубленной круговой цилиндрической полостью в антиплоской постановке. [c.312] Существенно, что при использовании описанного подхода схема проведения исследования не изменяется при усложнении постановки задачи. Анализ более сложных задач порождает, естественно, существенное усложнение всех соотношений, определяющее технические трудности при построении решений. [c.312] На бесконечности заданы условия излучения энергии упругих колебаний. [c.313] При использовании принципа суперпозиции необходимо решение трех вспомогательных задач 1) о колебании упругого слоя толщины Н, загруженного произвольной системой поверхностных сдвиговых усилий, осциллирующих с частотой и Qxp -iuJt) 2) упругого полупространства, на поверхность которого действуют распределенная осциллирующая нагрузка = X(у) ехр(- илЬ) (также неизвестная) 3) пространства с полостью под действием усилий = (р) ехр(-га ). [c.313] Рассмотрим для простоты случай, когда полость целиком расположена в полупространстве. Решение вспомогательных задач строится в локальной системе координат, связанной с соответствующей подобластью. При этом решение задачи о колебаниях полупространства с полостью строим с использованием принципа суперпозиции в виде суммы решений вспомогательных задач о колебаниях полупространства и пространства с полостью. [c.313] Следует отметить, что указанная структура и свойства системы имеют место при расположении полости целиком в слое или полупространстве. При расположении полости в полупространстве и при дополнительном условии об относительной малости ее радиуса (е 1) операторы первых уравнений являются сжимающими. В этом случае представляется возможным эффективно использовать асимптотические методы при построении решения системы интегро-функциональных уравнений. [c.315] Анализ полученных соотношений показывает, что поправочные слагаемые имеют более высокий порядок малости, чем нулевое приближение. Процесс последовательных приближений можно продолжить до достижения требуемой точности. [c.316] Существенно, что аналогичную структуру и свойства имеют системы интегро-функциональных уравнений контактных задач для многослойного полупространства с заглубленной полостью канонической формы, целиком расположенной в одном из слоев структуры, в плоской, осесимметричной и пространственной постановках [8, 9, 12, 15]. [c.316] Изложенный алгоритм практически без изменения переносится и на решение контактных задач для этих случаев при относительно сильном заглублении полости. [c.316] Реализация изложенного алгоритма позволяет не только построить решение контактной задачи, т.е. определить закон распределения контактных напряжений под штампом и зависимость его от расположения и размеров полости, но и исследовать закономерности распределения формируемого поля смещений в многосвязной слоистой области. [c.317] На рис. 1 приведен пример расчета амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) смещения круглого штампа с плоским основанием на поверхности двуслойного полупространства со сферической полостью и без нее (осесимметричная задача) (е = 0,5, Н = , р = 2000 кг/м , = 1,4 10 Па, = 7,2 10 Па, р = 1800 кг/м , Л = 3,2 10 Па, /х = 1,6 10 Па). [c.317] Имеется достаточно большое количество публикаций, посвященных разработке этого метода применительно к решению задач с однородными граничными условиями, моделирующими процесс возбуждения и распространения колебаний в многосвязных областях типа изолированного слоя или полупространства с полостью произвольной формы, в том числе и выходящей на свободную границу. Значительно меньшее количество публикаций посвящено решению аналогичных задач для многослойных сред. Однако, работ, посвященных использованию этого перспективного метода применительно к решению динамических контактных задач для многослойного полупространства с произвольно расположенной полостью неканонической формы, в доступных литературных источниках найти не удалось. [c.318] Резонансные свойства систем массивное тело—упругая полу ограниченная среда , подвергающихся гармоническому воздействию в области низких частот, исследовались в [2-14]. [c.320] Для рассматриваемых систем характерным является наличие некоторой критической частоты колебаний начиная с которой происходит распространение незатухающих волн, уносящих энергию на бесконечность, и возможность существования изолированных резонансных частот в области (0,о р), на которых амплитуда колебаний и энергия обращаются в бесконечность. В настоящем параграфе излагаются некоторые результаты исследований, полученные в [5, 9, 10, 14]. [c.320] К уравнениям (2) следует добавить условия на границе = О у(ж, у, 0) = и (х, у), (х, у) е 3, q(x, у, 0) = = О, (ж, у) ё 5. [c.320] Вернуться к основной статье