ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Высокочастотная асимптотика в динамических контактных задачах. М. А. Сумбатян из "Механика контактных взаимодействий " Рассматриваемая задача является типичной задачей с сингулярными возмущениями по малому параметру Л. [c.279] В дальнейшем ставим целью построение главного члена асимптотики решения. Оценка (5) приводит к тому, что главный член (4) определяется решением задач для двух полубесконечных штампов (2) и одного бесконечного (3). Физически это означает, что высокочастотные колебания обладают настолько малой длиной волны, что возмущения от правого конца штампа в главном практически не влияют на волновой процесс у левой кромки, и обратно. [c.279] Символ ядра Ь и) представляет собой комбинацию четырех радикалов + (3, у/и + 1, у/и- 3, /и - 1, имеющих точки ветвления. Проведем в плоскости комплексного переменного и разрезы, соединяющие точки -/ и -1 с бесконечностью в нижней полуплоскости, а точки / и 1 — с бесконечностью в верхней полуплоскости. Кроме точек ветвления на вещественной оси у символа есть два полюса Релея и = и1,и1 1. Согласно принципу предельного поглощения, контур Г в (1) совпадает с вещественной осью, обходя положительные особенности снизу, а отрицательные — сверху. [c.279] Функция Ь (и) обладает качественно различным поведением на разных отрезках вещественной оси. При г 1 она вещественная, при 3 и 1 — комплекснозначная, при и 3 — принимает мнимые значения. [c.280] Функция Ь и), как и Ь и), четна, имеет два полюса Релея и = 1 и обладает таким же качественным поведением на различных отрезках вещественной оси. При этом она точно улавливает поведение в нуле и на бесконечности. Кроме того, она везде имеет истинный знак мнимой части, что важно для выполнения теоремы единственности. Выражение М+(м) имеет нуль в верхней полуплоскости, который должен быть погашен нулем знаменателя и = -г. Заметим, что точка и = является его вторым нулем. [c.280] Очевидно, что решение задачи для невесомого штампа можно пересчитать на штамп с любой массой. Это достигается умножением на некоторый комплексный множитель. [c.281] Здесь h — толщина слоя, х = = шЬ р/ц, a = b/h. [c.282] В рассматриваемой задаче — два независимых безразмерных параметра X и а. Если оба они ограничены, то любой регулярный метод может быть с успехом применен для построения эффективного решения уравнения (19) (в качестве возможного укажем здесь на метод ортогональных многочленов — см. гл.1). Если параметр х ограничен, а параметр а велик, то эффективно применение асимптотического метода по этому параметру— в духе метода фиктивных поглощений . Однако в данном разделе исследуется совершенно другой предельный случай. [c.282] Область высоких частот и) соответствует большим значениям безразмерного параметра х, при этом второй независимый безразмерный параметр задачи полагается фиксированным, а именно а = onst. [c.282] Это делает невозможным применение коротковолновых сингулярных асимптотических методов (в духе метода малых Л [2]) в стандартном виде. Здесь развивается новый метод построения высокочастотной асимптотики именно для рассматриваемого класса интегральных уравнений. [c.282] Прежде всего заметим, что случаи, когда х = тгш или х = тгш - тг/2 (резонанс), являются особыми. Поэтому все дальнейшие рассуждения справедливы для х лежащих вне малых е — окрестностей этих особых значений. [c.282] Рассматриваемая задача является типичной задачей с сингулярными возмущениями по малому параметру Л = х Это, в частности, означает, что вся область контакта разбивается на две малые погранслойные области длиной Л, прилегающие к кромкам штампа, и основную, внешнюю область — вне погранслоев. В погранслойных областях проявляется корневая особенность контактного давления. Нас будет интересовать глобальная структура решения — ее поведение во внешней области. [c.283] Уравнение (23) лучше приспособлено для асимптотического анализа, чем исходное уравнение (19), вследствие простого вида его ядра. Заметим, что представление (21) неединственно. Например, возможно Ь и) = 2/(1 + е )7 - 1/7. Легко видеть, что все подобные разложения приводят к одному и тому же виду уравнения (23). [c.283] Структура решения (29) такова, что на постоянное значение ( вырожденное — оно получается решением уравнения (19) на всей оси) накладываются осцилляции. Несколько первых волн (при тгк х) имеют амплитуду, соизмеримую с этой постоянной. С ростом частоты колебания эпюра контактных напряжений носит все более волнообразный характер. Оказывается, что число горбов и впадин имеет порядок х Этот результат отличается от результата рассмотренной выше контактной задачи для полупространства, где эпюра стремится к постоянному, вырожденному значению. Указанное отличие объясняется влиянием дна в задаче о слое и вызвано многократным наложением отраженных от дна лучей. [c.284] В заключение заметим, что последние исследования [6] показывают, что глобальная структура высокочастотного решения может быть корректно сконструирована путем прямого применения изложенного здесь метода к исходному уравнению (19), без предварительного сведения его к более простому уравнению (24). [c.284] Развиваемый здесь метод является существенным обобщением метода, разработанного для задачи об антиплоских колебаниях штампа. [c.285] Очевидно, что ядро Я1(х) непрерывно (на самом деле оно даже бесконечно дифференцируемо). [c.286] Дальнейшая оценка интеграла в правой части (36) будет основана на применении хорошо известного в таких случаях приема интегрирования по частям. Поскольку при ж О фазовая функция (4+ж ) /2 не имеет стационарных точек, такое интегрирование по частям показывает, что вклад в рассматриваемый интеграл от слагаемых, соответствующих функциям А2 и Л3, имеет порядок. Для выяснения асимптотического поведения слагаемого, соответствующего функции А- , сначала убеждаемся в отсутствии при ж О стационарных (по ж) точек функции 8 и , ж). В самом деле, равенство ж) = О определяет стационарную точку = и (х), поэтому 3(и ,х) = 3[и (х), ж]. Отсюда следует (13/ х = + =3 =и = и (х). [c.287] В заключение заметим, что случай, когда полоса сцеплена с жестким основанием, также может быть исследован методом, предложенным в данной работе. [c.287] Вернуться к основной статье