ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Статические контактные задачи для многослойных упругих тел Никишин из "Механика контактных взаимодействий " Дается обзор результатов, полученных методом парных интегральных уравнений в области контактных задач теории упругости для непрерывно-неоднородных по глубине (или градиентных) тел. Задачи рассматриваются для полуплоскости, полупространства и полосы. Здесь не будут затрагиваться работы, посвященные расчетам слоистых тел. [c.199] Напомним, что тело называется стратифицированным, если его коэффициенты упругости зависят от одной координаты. Частным случаем стратифицированных тел являются градиентные тела, у которых упругие свойства непрерывно зависят от координаты, и слоистые — с кусочно-постоянной зависимостью упругих модулей от координаты. [c.199] Основное внимание уделяется ключевым этапам построения решения во-первых, сведению задачи к парному интегральному уравнению (т.е. построению трансформанты ядра парного интегрального зфавнения и исследованию ее свойств) во-вторых, построению решения полученного парного интегрального уравнения и использованию найденного решения для определения механических характеристик задачи. [c.199] Здесь д(х) — обезразмеренное неизвестное контактное давление под штампом, f(x) — обезразмеренная осадка поверхности полуплоскости под штампом, Л — характерный геометрический параметр задачи. [c.199] Контактные задачи для полупространства с переменным по глубине коэффициентом Пуассона в плоской постановке подробно исследовались в работах Е. А. Кузнецова [18, 20-22, 34, 35]. [c.199] Одна из основных трудностей сведения задачи к парному интегральному уравнению состоит в построении трансформанты ядра уравнения, функции Ь а). [c.199] В работах[2,7,8] рассмотрен наиболее общий случай неоднородности. [c.199] В соотношениях (3) А у),М(у) — функции изменения по глубине полуплоскости коэффициентов Ламе, С у) — функция изменения по глубине у модуля сдвига в неоднородной полуплоскости, /(у) — коэффициент Пуассона, Е(у) — функция изменения модуля Юнга. Соотношения (3) означают, что коэффициенты Ламе изменяются произвольно от одного конечного значения к другому и отделены от нуля, причем начиная с некоторой глубины стабилизируются, стремясь к некоторому постоянному значению. [c.200] Свойство (10) означает, что значение Ь(0) не зависит от того, каким образом изменяются модули упругости в неоднородном слое от = О до у = -Н, а определяются только их значениями при у = О иу = -Н. [c.201] Для решения уравнения (1) с трансформантой ядра Ь(а), обладающей свойствами (10), использовался ряд методов метод больших Л , функционального параметра, ортогональных полиномов, метод коллокации по чебышевским узлам и двухсторонне асимптотический метод [1, 2, 7, 8]. Наиболее эффективным методом решения такого класса интегральных уравнений показал себя двухсторонне асимптотический метод [3]. Его погрешность значительно меньше, чем у всех перечисленных выше методов, кроме того, он применим практически при всех допустимых значениях характерного геометрического параметра задачи. [c.201] Ниже приведем решение уравнения (1), построенного двухсторонне асимптотическим методом. [c.201] Доказана теорема [1], что приближенное решение интегрального уравнения (1) вида (12), полученное с использованием аппроксимации трансформанты ядра L(u) вида (14), является двухсторонне асимптотически точным решением уравнения (1) при Л — О и Л — со. [c.202] В работе А. Н. Бородачева [13] рассмотрена для этой же модели неоднородности задача о внедрении жесткого кругового конического штампа (/ = Рг) под действием центральной силы Р. Парное интегральное уравнение задачи сводилось к решению двух вспомогательных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, подобно задаче для кругового штампа с плоской подошвой. Величина радиуса площадки контакта определялась методом последовательных приближений. За начальную величину радиуса площадки контакта принималась та, которая соответствует такой силе Р, что для однородного полупространства с v = i/q радиус площадки контакта Rq = I. Также, как и в задаче для кругового штампа, при решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода использовался метод механических квадратур. [c.203] Здесь Jo — функция Бесселя нулевого порядка, д г) — неизвестное обезразмеренное распределение контактных давлений под штампом, Л — характерный геометрический параметр задачи. [c.203] Построение функции Ь(а) аналогично описанному выше построению трансформанты ядра для неоднородной полуплоскости [2, 6,7]. В отличие от контактной задачи для полуплоскости, в которой при построении этой функции применяется преобразование Фурье к уравнениям равновесия и граничным условиям, здесь используется преобразование Ханкеля. При выполнении условий вида (3) на изменение коэффициентов Ламе по глубине построенная функция Ь а) при а —) О и а —оо обладает свойствами (10). [c.204] Для решения уравнения (17) использовались методы больших Л , ортогональных полиномов [6], метод механических квадратур [14] и двухсторонне асимптотический метод [6]. [c.204] Двухсторонний асимптотический метод [1, 3] и в данном случае является наиболее эффективным для построения решения парного интегрального уравнения такого типа. [c.204] Используем аппроксимацию трансформанты ядра Ь(а) выражением вида (14). [c.204] В работе [6] доказана теорема, что приближенное решение интегрального уравнения (17) вида (21), (23), полученное с использованием аппроксимации трансформанты ядра L(u) вида (14), является двухсторонне асимптотически точным решением уравнения (17) при Л —) О и Л —оо. [c.205] Исследование эффективности решения интегрального уравнения методом больших Л и ортогональных полиномов [6] показало, что погрешность этих методов значительно превышает погрешность двухсторонне асимптотического метода. [c.205] Вернуться к основной статье