ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Развитие метода ортогональных функций. Е. В. Коваленко из "Механика контактных взаимодействий " Коблика и Л. И. Маневича [1] решена аналогичная задача для трансверсально изотропного полупространства. Доказано, что и в этом случае смешанная краевая задача теории упругости сводится к последовательно решаемым краевым задачам теории потенциала. В монографиях [4, 6], посвященным детальной разработке обсуждаемого метода и его приложениям, рассмотрен также ряд других задач о вдавливании штампов в анизотропные среды (в том числе при отсутствии у системы штампов угловых точек) и о распределении контактных напряжений на границе раздела между анизотропной средой и подкрепляющими ее упругими элементами. Приведем в качестве примеров, иллюстрирующих возможности метода, решения контактных задач при наличии в области контакта зон сцепления и скольжения. [c.55] Е2 И С — модули упругости в направлениях х, у и модуль сдвига 12 и 21 —коэффициенты Пуассона, причем 12 2 21 1 — толщина пластинки. [c.56] Очевидно, в случае плоской деформации соответствующие уравнения имеют аналогичный вид. [c.57] Как видно из преобразований (5) и (6), решение, полученное путем асимптотического интегрирования системы (7), должно медленнее изменяться вдоль оси X (д/дх = дх ), чем аналогичное решение системы (8) (д/дх = е 1 д 1 д1дх2). [c.57] Здесь коэффициенты скд / о равны единице, так как уравнения нулевого приближения должны соответствовать предельным системам, получаемым из выражений (7), (8), при —0. Коэффициенты а , 3 (т= 1,2.), вычисляемые в процессе решения, используются для упрощения уравнений высших приближений. [c.57] Подставив ряды (25)-(29) для усилий и перемещений в граничные условия (4) и расщепив полученные выражения по параметру найдем граничные условия, соответствующие граничным задачам для гармонических функций y2,4m+j ФуНКЦИИ ц2,4m+j наХОДЯТСЯ ИЗ соотношений (22), (23) простым интегрированием и также являются гармоническими. Из формул (21)-(29) видно, что напряженные состояния первого и второго типов связаны только граничными условиями. [c.60] Кроме того, необходимо удовлетворить условиям равновесия штампа и полосы, а также условиям затухания усилий на бесконечности. [c.61] Из соотношений (38)-(41) и (36) следует, что в области контакта заданы действительные части функций (г1), а на остальной части границы — мнимые. Аналогично в зонах сцепления заданы действительные части функций (г2), а вне их — мнимые. [c.63] Координаты точек, разделяющих зоны скольжения и сцепления, заранее неизвестны и определяются в ходе решения задачи. Все усилия должны быть непрерывны в этих точках и стремиться к нулю при / — схэ. [c.63] Здесь К (к) — полный эллиптический интеграл первого рода. Рассматриваемая задача в предельном случае ортотропной полуплоскости (при д = I) решалась также приближенным методом, предложенным Л.А.Галиным [2]. Полученное соотношение для определения зоны сцепления было разложено в ряд по степеням В главном приближении оно совпадает с уравнением (49). [c.65] В формулах (50) и (51) верхний знак выбирается при = О, нижний — при = f. [c.65] Были также определены предельные (при Н оо) значения касательных напряжений на участках скольжения и сцепления. [c.65] Па рис. 1 показана зависимость отношения длины участка сцепления к длине области контакта Ъ/1 от коэффициента трения к для изотропной среды (при /2 = 0,5). Кривая 2 получена в работе [8], кривая 1 построена при помош и асимптотического методы для случая, когда упругая среда занимает полуплоскость, кривые 3-5 получены для полосы при отношении длины области контакта к ширине полосы 21/Н = 1,2,5, соответственно. Из рисунка видно, что область сцепления уменьшается с уменьшением коэффициента трения к (исчезает при = 0) и увеличивается с уменьшением толщины полосы. [c.65] На рис. 2 показано распределение безразмерного касательного усилия 5 =2/5/Р под штампом для полуплоскости при =0,5 к = 0,3 д = 0,9. [c.65] Для упрощения выкладок коэффициенты Пуассона положены равными нулю. [c.66] Из соотношений (53)-(55) следует, что решения, полученные путем асимптотического интегрирования уравнений (56)-(57), будут соответствовать медленно изменяющемуся вдоль оси напряженно-деформированному состоянию по сравнению с аналогичными решениями системы уравнений (58)-(59). [c.67] Граничные условия для уравнений (64)-(67) получаются при асимптотическом анализе граничных условий для исходной системы. [c.68] И равенстве нулю перемещений II, W на бесконечности. Здесь — осадка штампа р — коэффициент трения. [c.70] На рис. 3 показана зависимость величины Ь/а (отношение радиуса участка сцепления к радиусу штампа) от коэффициента трения р (при к = 1/3), а на рис. 4 — распределение безразмерных касательных напряжений 3 = жа т /Р в области контакта (при к = /Ъ, р = 0,3). Точка Р разделяет участки сцепления и трения. [c.71] Вернуться к основной статье