ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Асимптотические методы в механике контактных взаимодействий. В. М. Александров из "Механика контактных взаимодействий " Успехи, достигнутые за последние 25 лет при решении сложных задач механики контактных взаимодействий, во многом связаны с широким применением для их изучения регулярных и сингулярных асимптотических методов. [c.10] Преимуш,ества асимптотических методов перед другими методами состоят в их универсальности — применимости как к плоским, так и к пространственным задачам (в частности, осесимметричным), как к линейным, так и нелинейным а также в возможности аналитического представления решения и простоте его последуюш,его качественного и количественного исследования. [c.10] Поскольку задачи механики контактных взаимодействий, как правило, сводятся к решению интегральных уравнений, то последние как раз и служат здесь объектом изучения с точки зрения использования их для исследования асимптотических методов. Далее рассмотрим несколько типичных интегральных уравнений (ИУ) [1-10, 13]. [c.10] Кроме того, допустим, что L u)u и u[L u)] как функции комплексного переменного w = u + iv соответственно регулярны в полосе v 7 и в полосе г jj. Отсюда, в частности, следует, что ядро k(t) убывает на бесконечности не слабее, чем exp(-7ji ). [c.10] При выполнении последнего из условий (12) решение ИУ (1) найдем как сумму решений ИУ (11), т.е. [c.12] Здесь и ниже плюс берется для четного случая, минус — для нечетного. [c.12] Изложим несколько иную схему асимптотического метода при малых Л, когда невозможно или затруднено представление функции /(ж) в форме (12). [c.13] Складывая первые два уравнения и вычитая последнее на общем участке х 1, убедимся, что решением ИУ (1) является линейная суперпозиция решений ИУ (20), т.е. [c.13] Согласно (25), ИУ (24) можно решать при малых Л, как и уравнение (16), методом последовательных приближений, отбрасывая в нулевом приближении интеграл в его правой части. При этом на каждой итерации вновь будет решаться ИУ Винера-Хопфа (18). Решение третьего ИУ (20) находится применением теоремы о свертке для интегрального преобразования Фурье. Таким образом сингулярное асимптотическое разложение решения ИУ (1) при малых Л в форме (21) может быть реально построено с любой желаемой точностью. [c.14] Такое приближенное решение, как и выше, покрывает диапазон Л 8пр(2,2// ). [c.14] Здесь 3 — круг единичного радиуса, 7 (ж) — функция Бесселя, функция Ь(и) обладает описанными выше свойствами. [c.14] Заметим еш,е, что согласно теореме 41.2 из [13] решение ИУ (28) при любом п 2 может быть построено, если известно решение этого же ИУ при п = 0. [c.15] Функция L u) обладает описанными выше свойствами, область ft односвязна, а контур L области П имеет непрерывную кривизну. [c.16] Для практических целей в выражении для функции ip(x, у) обычно можно ограничиться членами порядка Л , при этом покрывается диапазон Л sup(2,2/р). [c.16] Случай малых Л для уравнения (39) непосредственно не может быть рассмотрен, ибо должен быть мал не сам параметр Л, а некоторый параметр / (/ Л), связанный с геометрией области 7. [c.17] Пусть область — выпуклая (случай невыпуклой области П более сложен и нужно воспользоваться результатами работы [2]) и а — минимальный радиус кривизны ее контура Ь. Тогда введем 1 соотношением 1 = /а. Заметим, что 1 = только в случае круговой области О. [c.17] Последний интеграл понимается в обобщенном смысле. [c.17] Проведем из точки А(х, у) Е fl-fto нормаль к контуру L. Пусть длина этой нормали п, а точка пересечения ее с контуром B(xi,yi). Выберем на контуре L какую-либо точку 0(xQ,yo) в качестве начала отсчета и измерим расстояние s между точками О и В по контуру L. Величины ПИЗ примем за новые координаты точки А в криволинейной системе координат (n,s). При условии -1/2 s 1/2 (I — периметр контура L) каждой паре чисел (х, у) в области О, -Qq будет соответствовать только одна пара чисел (п, s), и наоборот. [c.17] ИУ (49) решается в замкнутом виде путем применения интегрального преобразования Фурье по с с последующим использованием метода Винера-Хопфа. [c.18] Замечание 3. Асимптотические методы нашли также широкое использование при изучении задач механики разрушения и теории концентрации напряжений вблизи трещин, тонких включений и подкреплений (см., например, [11]). [c.18] Вернуться к основной статье