ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вывод уравнения Фоккера—Планка из уравнения Лиувилля из "Неравновесная термодинамика и физическая кинетика " Таким образом, среда релаксирует значительно быстрее частицы (в пределе в характерном временном масштабе, связанном с движением брауновской частицы, — мгновенно). Поэтому среду можно считать равновесной. И напротив, в масштабе, связанном со средой (например, за время корреляции случайной силы), состояние брауновской частицы можно считать неизменным. Bbiuie мы выделили в явном виде характерный для этой задачи малый параметр v = m/Ai l—отношение масс молекул среды и брауновской частицы. [c.57] Полученный коэффициент (тензор) трения, как это предполагалось ранее в феноменологической теории, не зависит от скорости движения брауновской частицы. [c.58] Ввиду принципиальной важности микроскопического обоснования уравнения Фоккера—Планка рассмотрим другой, более строгий, его вывод из уравнения Лиувилля . [c.58] В отличие от изложенных выше физических предположений в данном выводе необратимость вносится в уравнение Лиувилля с помощью специального приема (связанного с идеей сокращенного описания системы), состоящего в введении в уравнение Лиувилля бесконечно малого ( е- 0+) источника, задающего граничное условие в бесконечно удаленном прошлом ( - —оо). Соответствующие решения при е О удовлетворяют обычному уравнению Лиувилля и в то же время позволяют описать неравновесные процессы. [c.58] Средняя сила (случайная), действующая на брауновскую частицу со стороны равновесной среды, равна нулю, поэтому первый член в правой части (4.37) обращается в нуль. [c.59] Полученные выше микроскопические формулы (4.70) или (4.76), связывающие коэффициент трения с интегралом от временной корреляционной функции случайной силы, представляют собой один из примеров соотношений Грина—Кубо. Последние в общем случае связывают различные коэффициенты переноса с интегралами по времени от соответствующих корреляционных функций. [c.60] Как мы видели раньше (см. (4.25), (4.26)), аналогичную форму можно придать соотношению Эйнштейна, записав коэффициент диффузии в виде интеграла от корреляционной функции скорости брауновской частицы. [c.60] Следует отметить, что область применимости уравнения Фоккера—Планка не ограничивается теорией брауновского движения или разреженного газа тяжелых молекул в среде легких молекул. [c.60] Это уравнение может быть выведено и широко используется для описания однокомпонентных систем с дальнодействующим (например, кулоновским) взаимодействием. Физически это связано с тем, что каждая молекула ( частица ) вследствие дальнодействия взаимодействует одновременно с большим числом других молекул ( среда ), причем по той же причине доминирующую роль в их взаимодействии играют так называемые дальние столкновения (большие прицельные расстояния), при которых скорость рассеиваемых молекул почти не меняется и углы столкновения малы. На основе последнего предположения можно вывести уравнение Фоккера—Планка, например из кинетического уравнения Больцмана (несмотря на то, что первое предположение без второго не соответствует самому уравнению Больцмана (приближение парных столкновений)). [c.60] Вернуться к основной статье