ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общий случай малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия из "Курс теоретической механики Издание 2 " Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия. Рассматриваемое положение равновесия может оказаться устойчивым или неустойчивым. О характере этого положения равновесия можно судить по тому, как ведет себя система вблизи положения равновесия. [c.552] Другими словами, для устойчивого положения равновесия координаты и скорости не будут превосходить некоторых заданных пределов, при достаточно малых начальных возмущениях координат и скоростей. [c.553] Теорема Лагранжа. Если в положении равновесия системы силовая функция имеет изолированный максимум, то такое положение равновесия системы устойчиво. [c.553] В силу непрерывности выражений для 11 и Т такие числа А и Я всегда можно подобрать. [c.554] Таким образом, по заданным числам Л, нам удалось найти такие числа Я, которые удовлетворяют условиям устойчивости положения равновесия. Этим теорема доказана. [c.555] Теорема Лагранжа дает только достаточные условия устойчивости равновесия. Ниже будет показано, что эти условия являются и необходимыми условиями при довольно общих ограничениях на силовую функцию. [c.555] Пример 133. Весомая однородная квадратная пластинка AB D (рис. 262) может вращаться в вертикальной плоскости около своего угла А. К ближайшему углу квадрата В привязана пить, перекинутая через блок Е и натягиваемая грузом Q. Бесконечно малый блок Е расположен вертикально над углом А на расстоянии, равнш стороне квадрата. Величина груза Q относится к весу Р пластинки, как 1 2. [c.555] Найти положения равновесия пластинки и определить их устойчивость. [c.555] Пример 134. На неподвижный круглый цилиндр радиуса г, ось которого горизонтальна, положен однородный круглый цилиндр радиуса / , ось которого тоже горизонтальна и перпендикулярна к оси первого цилиндра. Определить условия устойчивого положения равновесия системы (рис, 263). [c.556] Раусу принадлежит несколько теорем об устойчивости стационарных движений. Приведем здесь только одну из них, получившую наибольшее распространение. Эта теорема справедлива для голономных консервативных систем, обладающих циклическими интегралами. [c.557] Задача определения движения в окрестности положения равновесия свелась к исследованию решений системы линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такой системы известно из курсов дифференциальных уравнений, и мы не будем останавливать на нем внимания. [c.560] Полученное уравнение называют характеристическим, или уравнением частот. [c.560] Переменные Хь Х2,—,Хи, в которых уравнения Лагранжа имеют казанный вид, называются главными, или нормальными, координатами. [c.561] Преобразование должно выполняться для всех значений координат, а это возможно, если совпадают все коэффициенты преобразования, т. е. [c.561] Но этот определитель совпадает с уравнением частот. Определив корни этого уравнения, для каждого значения корня Хц будем иметь систему коэффициентов т,, зависящих по крайней мере от одного параметра. Относительно корней Я. докажем следующую теорему, принадлежащую Сильвестру. [c.561] Теорема Сильвестра (1814—1897). Все корни уравне ния частот вещественны. [c.562] Этим и доказывается теорема. [c.562] Пример 135. Материальная точка массы т привязана нитью длины а к неподвижной точке О и соединена со второй точкой той же массы т при помощи нити длины а. Система находится в однородном поле силы тяжести. Определить частоты малых колебаний системы и нормальные колебания (рис. 264). [c.564] Вернуться к основной статье