ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория притяжения из "Теоретическая механика " Вызванное пзмененпел импульса изменение какой-нибудь координаты bqi за произвольный промежуток времени равно и противоположно по знаку изменению в обращенном движении за этот же промежуток времени координаты Ад , вызванному таким же по величине изменением импульса Др (Гельмгольц). [c.233] Из этих соотиошений (i = l,. .., к) следует определить производные da,v/dt, d y/dt. [c.234] Это — уравнения в вариациях Пуанкаре. [c.235] Если среди показателей % существует хотя бы один с положительной вещественной частью, отвечающее ему частное решение Т1, будет неограниченно расти со временем, и следовательно, равновесие будет неустойчивым. [c.237] Следовательно, для того чтобы равновесне было устойчивым, необходимо, согласно (7.30), чтобы все показатели или характеристичные корни были чисто мнимыми. Это предложение говорит о колебательном характере возмущенных движений вблизи устойчивого положения равновесия материальной системы. [c.237] Наиболее простое доказательство теоремы Лагранжа получается из общей теоремы Ляпунова об устойчивости если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво. Доказательство этой теоремы Ляпунов дал в сочинении Общая задача об устойчивости движения (стр. 61) ). [c.237] Для интересующего нас случая полными уравнениями возмущенных движений будут канонические уравнения движения с функцией Гамильтона Н = Т — U. Если в положении равновесия и = О, то Н, очевидно, представляет собой определенно положительную функцию 9s, Рв- Но при этом dH/dt = 0 следовательно, на основании теоремы Ляпунова положение равновесия, где U имеет изолированный максимум, будет устойчиво. Вопрос об обращении теоремы Лагранжа представляет собой важную и трудную зада гу. [c.237] Будем различать два случая. [c.239] — амплитуда, v, — собственная частота, ф. — фаза s-ro главного, пли собственного, колебания системы. Система при малых начальных отклонениях весьма мало отклоняется от положения равновеспя. Устойчивость. [c.239] Число положительных к, называется степенью неустойчивости системы. [c.239] При увеличении инертности основной тон (наименьшая частота) падает или, по меньшей мере, не повышается. При этом под увеличением инертности понимается переход к системе с такой живой силой Т, что Т — Т никогда не принимает отрицательных значений силовая функция остается пусть при этом неизменной. [c.239] При увеличении жесткости системы основной тон повышается пли, во всяком случае, не падает. При этом под увеличением жесткости понимается переход к системе с той же живой силой, но силовая функция которой получается из данной прибавлением отрицательной знакопостоянной квадратичной формы. [c.240] Если равновесие было устойчивым под действием одних консервативных спл, то оно останется устойчивым при добавлении диссипативных и гироскопических сил. [c.241] Отсюда F(+oo) 0 и / (О) = (—Ai),..Я ). Если начальная неустойчивость была нечетной степени и ivl 0, то F(0) 0 и, следовательно, будет существовать по крайней мере один положительный корень X. Равновесие останется неустохгаивым. Начальная неустойчивость должна быть четной степени, чтобы была возможной гироскопическая стабилизация. [c.241] Характеристичное число суммы двух функций равно наименьшему из характеристичных чисел этих функций, когда эти числа различны, и не меньше их, когда они равны. Характеристичное число произведения двух функций не меньше суммы их характеристичных чисел. [c.242] Если все у. положительны, то решения уравнений в вариациях дают устойчивость, если среди характеристичных чисел существует по меньшей мере одно отрицательное, то — неустойчивость. Из последнего неравенства следует, что для устойчивости ведущего движения по уравнениям в вариациях Пуанкаре необходимо, чтобы все характеристичные числа х были нулями. Для случая приводимых уравнений в вариациях Пуанкаре предложение это говорит, что вблизи устойчивого ведущего движения возмущенные движения имеют колебательный характер. Вопрос о частоте нормальных колебаний еще не разрешен. [c.242] Колебательные процессы, нужные для дальнейшего развития оптико-механической аналогии, происходят при возмущении устойчивых равновесий или движений. Дальнейшее рассмотрение этого вопроса выходит за рамки нашего курса. [c.243] Если теоретическое движение (Я) при начальных данных = 0, 2i = Pi = р устойчиво по отиошепию к величинам F при возмущающих силах (Я — Я) и при возмущении начальных данных, то тогда действительное движение в поле Я при начальных данных t = to, Qi = qu Pi = p будет устойчиво при возмущении одних начальных данных. [c.244] Вернуться к основной статье