ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Перспективная коллинеация и гомология из "Начертательная геометрия " Рассмотрим соответствие плоских фигур при центральном проектировании. Пусть даны две плоскости П и П,, пересекающиеся по прямой О О. (рис. 484), и установлено некоторое проектирование из центра проекций 5, при котором точка Л, плоскости И, проектируется в точку А плоскости П. Точки Л, и Л являются соответственными. Каждая прямая плоскости И, будет проектироваться в прямую плоскости П. Так, прямой Л1С1 плоскости П, соответствует прямая АС плоскости П, и обратно. [c.344] При центральном проектировании точкам, расположенным на одной прямой плоскости П,, соответствуют точки, лежащие на соответствующей прямой плоскости П. [c.344] Следовательно, при центральном проектировании имеет место взаимно однозначное преобразование, при котором точки, лежащие на одной прямой плоскости П1, переходят в прямолинейно расположенные точки плоскости П. [c.344] Коллинеация, при которой соответственные точки лежат на проектирующих лучах, пересекающихся в центре проекций 5, называется перспективной коллинеацией. [c.344] ЗАВ (рис. 484). Находясь в одной плоскости, прямые АВ и АхВх пересекаются в точке, обозначенной на рис. 484 через С . Эта точка принадлежит трем плоскостям плоскости П (как точка прямой АВ), плоскости П, (как точка прямой АхВх) и проектирующей плоскости, в которой расположены прямые АВ и А В . Следовательно, точка Сд должна быть на прямой О О , по которой пересекаются плоскости П и П,. [c.345] Это утверждение составляет содержание теоремы Дезарга, которая справедлива и для треугольников, лежащих в одной плоскости ). [c.346] Можно показать, что перспективно-коллинеарное соответствие точек двух плоскостей не нарушается, если одну из плоскостей вращать вокруг оси коллинеации. [c.346] Иными словами, все прямые ААх, ВВ ... (рис. 484), соединяющие соответственные точки, при вращении плоскости П, остаются пересекающимися в одной точке прямыми, причем эта точка — центр проектирования— не остается неподвижной. [c.346] Все прямые, соединяющие соответственные точки, проходят через одну точку — центр гомологии (рис. 486). Прямая, на которой расположены точки, преобразующиеся в себя (двойные точки), называется осью гомологии (прямая О1О8). [c.347] ЭТОГО поступают следующим образом. Прямая А Ви соответственная прямой АВ, должна проходить через двойную точку С, последней. Это ПОЗВОЛИЛО построить на рис. 486 прямую Искомая точка i5l должна быть И на этой прямой и на проектирующей линии В В. [c.348] Пересечение указанных прямых и определяет точку В . [c.348] Совмещение осуществляют, вращая фигуру вместе с ее плоскостью вокруг прямой, по которой плоскость фигуры пересекает картину. Эта прямая служит осью гомологии, так как точки ее преобразуются в себя. [c.348] Что касается центра гомологии, то им будет та точка картины, с которой совмещается центр проектирования (точка зрения 5). В проективной геометрии доказывается, что центр проектирования при вращении плоскости данной фигуры перемещается по окружности, плоскость которой перпендикулярна к оси гомологии. Центром этой окружности является точка пересечения картины и прямой, проходящей через точку зрения 5 перпендикулярно к оси гомологии и параллельно плоскости фигуры ). [c.348] центр гомологии смещается по вертикали от главного пункта Р на расстояние, равное отрезку 8Р (главное расстояние). [c.350] Установив положение центра гомологии и соответствие главного пункта Р бесконечно удаленной точке прямых предметной плоскости, каждая из которых перпендикулярна к основанию картины, перейдем к решению некоторых задач линейной перспективы. [c.350] Задача 1. Определить истинную длину отрезка прямой, лежащей в предметной плоскости, если дана его перспектива АВ (рис. 489). [c.350] Воспользовавшись указанными данными, можно для отрезка АВ построить соответствующий ему отрезок А В. Последний и будет определять искомую длину отрезка, заданного перспективой АВ. [c.351] Точка А , гомологичная А, найдена как точка пересечения прямых и М А. Последняя представляет собой прямую, соответственную прямой Заметим, что точке Р прямой М Р соответствует бесконечно удаленная точка прямой М А - Таким же образом найдена точка В. [c.351] Аналогично можно определить истинную длину вторичной проекции любого отрезка. [c.351] Вернуться к основной статье