ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие понятия из "Начертательная геометрия " В геометрии преобразование может быть задано различным образом. Чаще всего рассматриваются точечные преобразования, заключающиеся в том, что каждой точке одной фигуры ставится в соответствие определенная точка другой фигуры. При точечном преобразовании каждая фигура — прообраз, — рассматриваемая как совокупность точек, преобразуется в новую фигуру, называемую образом первоначальной. [c.341] Соответствующие друг другу точки называются сходственными или соответственными. Прямые и отрезки, определяемые соответственными точками, также называются соответственными. [c.341] Построение, при помощи которого из данной фигуры получается новая, называется преобразованием геометрической фигуры. [c.341] Примером таких преобразований служат осевая и центральная симметрия, гомотетия, которые изучаются в планиметрии. [c.341] Каждое геометрическое преобразование фигуры связано с некоторым искажением формы фигуры и размеров ее отдельных частей. Вместе с тем определенные свойства фигур не изменяются при их преобразовании. [c.341] Свойства фигур, остающиеся неизменными при данном преобразовании, называют инвариантами данного преобразования. Так, преобразование, которому подвергаются плоские фигуры при параллельном проектировании их с одной плоскости на другую, имеет следующие инварианты 1) прямолинейность отрезков, 2) параллельность прямых, 3) отношение длин отрезков одной и той же прямой, 4) отношение отрезков двух параллельных прямых (доказательство см. в 3). [c.341] Перечисленные инварианты характеризуют не только параллельное проектирование, но и некоторые другие геометрические преобразования, например преобразование подобия. [c.341] Все преобразования, имеющие инварианты, указанные выше, называются аффинными преобразованиями. [c.341] Частным видом этих преобразований является параллельное проектирование. [c.342] Соответствие, которое устанавливается между фигурами с помощью параллельной проекции, называется перспективно-аффинным, или родственным ). [c.342] Центральное проектирование в случае непараллельности плоскостей образа и прообраза дает уже не аффинное преобразование, а более общее проективное преобразование. [c.342] Для того чтобы установить взаимно однозначное точечное соответствие между двумя плоскостями при центральном проектировании, пространство и плоскость евклидовой геометрии дополняют бесконечно удаленными элементами, что связано с новыми понятиями—проективным пространством и проективной плоскостью. [c.342] Вернуться к основной статье