ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые свойства однополостного гиперболоида вращения и его применение в строительной технике из "Начертательная геометрия " Рассмотрим однополостный гиперболоид вращения — линейчатую поверхность вращения общего вида. [c.145] Пусть даны две скрещивающиеся прямые (рис. 239) АВ и 11 , первая из которых является образующей поверхности вращения, а вторая — //, — осью. При вращении прямой АВ вокруг //, каждая точка образующей будет двигаться по окружности, плоскость которой перпендикулярна к оси Я,. [c.145] Очевидно, что одна из параллелей есть окружность с минимальным радиусом Го, равным кратчайшему расстоянию между данными прямыми (отрезок ОМ). Эту окружность принято называть горлом поверхности. Покажем, что меридианом такой поверхности будет гипербола, т. е. что сама поверхность является однополостным гиперболоидом вращения. [c.145] Теорема 1. Меридианом поверхности, образованной вращением одной из скрещивающихся прямых вокруг другой, является гипербола. [c.145] Уравнение меридиана будем определять в неподвижной системе координат Охг, расположенной так, что начало совмещено с центром горловой окружности, а ось Ог — с осью гиперболоида Я1 (рис. 239). [c.145] Пусть прямолинейная образующая пересекается с плоскостью координатных осей в точке М, принадлежащей меридиональному сечению. [c.145] Таким образом, мы получили уравнение вида -- = 1, которое является уравнением гиперболы. [c.146] Однополостный гиперболоид вращения можно рассматривать как линейчатую поверхность вращения общего вида, вырождающуюся в частных случаях в коническую и цилиндрическую поверхности. [c.146] Рассмотрим некоторые свойства однополостного гиперболоида вращения. [c.146] Прямая АВ (рис. 240), вращаясь вокруг оси // занимает ряд последовательных положений А В А В и т. д., образуя семейство прямолинейных образующих. [c.146] Можно показать, что поверхность одного и того же однополостного гиперболоида вращения содержит не одно, а два семейства прямолинейных образующих. [c.146] Теорема 2. Через каждую точку однополостного гиперболоида вращения проходят две и только две его прямолинейные образующие. [c.146] Каждая пара точек прямых АВ и С ), расположенная в одной плоскости, перпендикулярной к оси Ни например точки К и Ки будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, что следует из равенства треугольников КЬт и К хШ. Следовательно, при вращении прямых АВ и СО, обе точки будут перемещаться по одной окружности (параллели). Прямая СД вращаясь вокруг оси и образует ту же поверхность однопо-постного гиперболоида вращения, что и прямая АВ. Ряд последовательных положений прямой СО представляет собой второе семейство прямолинейных образующих того же гиперболоида. [c.147] Теорема 3. Каждая образующая одного семейства пересекает все образующие второго, кроме одной, ей параллельной. [c.147] Согласно теореме 2, через каждую точку однополостного гиперболоида можно провести две прямолинейные образующие. Но две образующие АВ И СО разных семейств симметричны друг другу относительно биссекюрной плоскости, двугранного угла, созданного плоскостями Р и 0, проходящими через образующие параллельно оси вращения (рис. 241). [c.147] Если этот угол не равен 0°, то обе образующие пересекаются с биссек-торной плоскостью и, следовательно, в силу симметрии, точка пересечения с нею у образующих общая. В том случае, когда двугранный угол равен О, образующие будут параллельны. [c.147] Теорема 4. Все прямолинейные образующие одного семейства — скрещивающиеся прямые. [c.147] Предположим, что какие-либо две образующие одного семейства оказались параллельны. В этом случае их ортогональные проекции на плоскость, перпендикулярную к оси вращения, должны были бы быть, во-первых, — параллельными, и во-вторых, касательными к проекции горловой окружности на ту же плоскость (рис. 242). [c.148] Идея применения однополостного гиперболоида вращения в строительной технике принадлежит выдающемуся русскому инженеру, почетному члену Академии наук СССР Владимиру Григорьевичу Шухову (1853—1939). Предметом привилегии, полученной В. Г. Шуховым в 1896 г., является ажурная башня, характеризующаяся тем, что остов ее состоит из пересекающихся между собой прямолинейных деревянных брусьев, или железных труб, или угольников, расположенных по производящим тела вращения, форму которого имеет башня, склепываемых между собой в точках пересечения, и, кроме того, соединенных горизонтальными кольцами ) (рис. 244). В том же 1896 г. на Нижегородской выставке сетчатая башня Шухова служила опорой резервуара на 10 000 ведер воды. [c.149] В нашей стране с ростом механизации и индустриализации железобетонных работ и всех сопутствующих им процессов широкое распространение получило строительство железобетонных сооружений значительной высоты. Некоторым из них, например железобетонным градирням ), придают форму гиперболоида вращения (рис. 245). [c.150] Вернуться к основной статье