ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение методов преобразования проекций к решению метрических задач из "Начертательная геометрия " На рис. 166 показан и обратный процесс преобразования проекций искомого отрезка АК от системы к первоначальной У/Н. Заметим, что проекция отрезка АК на плоскость У, построена параллельно оси О- дго, так как этот отрезок параллелен плоскости Я,. [c.93] В общем случае, когда каждая из скрещивающихся прямых не параллельна ни одной из плоскостей проекций, задача сводится к преобразованию проекций, в результате которого проекция одной из данных прямых должна стать точкой. Этого можно достичь либо двойной заменой плоскостей, либо двойным поворотом системы скрещивающихся прямых. [c.94] Решение рассматриваемой задачи с помощью метода вращения дано на рис. 171, где прямая АВ двойным поворотом приведена в положение, перпендикулярное к плоскости Н. Последовательность преобразования проекций прямой Аб соответствует той, что была описана в 32, пункте б) (см. пояснения к рис. 145). [c.94] После первого поворота прямые изображены штрих-пунктирными линиями и обозначены через ABi и iDi. Индекс 2 соответствует окончательному положению прямых. Перпендикуляр е/, опущенный из точки а = 2 на d , будет определять искомое расстояние. Так как отрезок EF параллелен плоскости Н, то его фронтальная проекция е / проведена через точку / параллельно оси Ох. [c.95] На рис. 174 для этой цели в плоскости данных прямых проведена горизонталь ВС, которая принимается за ось вращения. Дальнейшее построение аналогично тому, что проводилось при определении истинной величины треугольника методом вращения (см. текст к рис. 149 в 32). [c.96] Если задача требует определения только величины угла между прямой и плоскостью без изображения его проекций, то решение можно значительно упростить, опустив построение точек /С и К1. [c.97] Построение проекций этого угла ср1 не требует определения ни точки К, ни точки К (см. рис. 176). [c.97] По двум проекциям угла ср1 находят его истинную величину и дополняют ее до 90°. Угол, дополняющий найденный до 90°, и будет искомым. [c.97] На рис. 179 та же задача при ином задании граней решена методом перемены плоскостей проекций. [c.98] Ребром двугранного угла в этом примере служит общая сторона двух треугольников — прямая АВ. Двойной заменой плоскостей проекция АВ преобразована в гочку. Плоскость /У,, перпендикулярная к АВ, будет параллельна сторонам линейного угла, которым измеряется искомый двугранный угол р. [c.99] Докажем, что и сумма этих углов может изменяться в тех же пределах от 0° до 90°. Для этого проследим за изменением суммы углов а и р при вращении отрезка прямой АВ вокруг вертикальной оси /Л (рис. 182). Пусть в первоначальном положении отрезок АВ параллелен V и составляет с И угол о. В этом случае р = 0 и 0° а 90°. [c.100] При минимальном значении суммы о и Р и каждый угол будет равен нулю. Прямая АВ в этом случае займет положение, перпендикулярное к W. [c.100] Установив пределы, в которых изменяется сумма углов, перейдем к построению проекций прямой по заданным аир. [c.100] Пусть требуется построить прямую АВ, которая составляет с И я V соответственно углы я и р и пересекает ось Ох в данной точке В. [c.100] На рис. 183 изображены два прямоугольных треугольника АаВ и Аа В, имеющих общую гипотенузу АВ. Острый угол при вершине В в первом треугольнике равен а, во втором р. Совместим оба треугольника с плоскостью V. [c.101] В процессе совмещения первый треугольник вращается вокруг вертикальной оси III, проходящей через точку В. Катет а В, прилежащий к углу Р второго треугольника, будет вращаться по плоскости V около неподвижной вершины В. Двугранный угол между плоскостями треугольников начнет увеличиваться и в момент совмещения окажется равным 180°. Зная величины аир и задавшись произвольно длиной общей гипотенузы, можно построить оба прямоугольных треугольника в совмещенном с плоскостью V по-тожении, что и сделано на рис. 184. [c.101] Катеты этих треугольников, прилежащие к углам аир, позволяют провести дуги, по которым перемещались вершины прямых углов обоих треугольников при совмещении с V. Центром этих дуг является неподвижная точка В. Катет АхО,, противолежащий углу а, определяет координату г точки А. [c.101] Рассматривая второй прямоугольный треугольник, можно показать, что Р Р1 = 90°, где Р1 — угол между прямой ОС и плоскостью V. Полученное соотношение между углами будет справедливым и в том случае, если плоскость Н или V заменить любой другой. Итак, если данная плоскость Р с некоторой плоскостью и образует угол 9, то перпендикуляр к плоскости Р с той же плоскостью Я, составляет угол ср, = 90° — ср. [c.102] Таким же образом находим проекции и других вершин треугольника АВС. [c.105] Вернуться к основной статье