ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волны в сплошной среде . 158. Волны на поверхности жидкости из "Физические основы механики " Если затухание собственных колебаний в системе мало, то механизм, поддерживающий автоколебания, подводит к системе за период энергию, составляющую лишь малую долю всей энергии, которой обладает колеблющаяся система. Поэтому он очень мало изменяет характер поддерживаемых колебаний автоколебания как по частоте, так и по распределению амплитуд оказываются близкими к нормальным колебаниям системы. Например, при игре на скрипке обычно основной тон колебаний таков, что для него вдоль свободной части струны — от пальца, прижимающего ее к грифу, до подставки — укладывается половина длины волны. Частота колебаний скрипичной струны, возбуждаемой смычком, совпадает с частотой собственных колебаний, которые получаются, если эту струну оттянуть, а затем отпустить. [c.693] Во всех рассмотренных случаях энергия, необходимая для возбуждения и поддержания колебаний в сплошной системе, подводится к одному определенному участку системы потери же энергии происходят во всей системе. Поэтому наряду со стоячими волнами в системе принципиально должны существовать и бегущие волны (хотя при малых потерях амплитуда этих последних мала по сравнению с амплитудой стоячих волн). [c.693] Выше нами был качественно прослежен переход от дискретных колебательных систем к сплошным системам. Обратимся теперь к более детальному обоснованию возможности такого перехода и получим некоторые количественные оценки. [c.693] Поскольку всякие тела состоят из атомов, мы должны были бы в соответствии со сказанным в 105 изучить при рассмотрении колебаний всякого тела колебания всех атомов, образующих это тело. При этом всякое тело обладало бы конечным числом степеней свободы, равным произведению числа атомов, из которых состоит тело, на число степеней свободы, которым обладает отдельный атом. [c.693] Но когда при колебаниях тела достаточно большое число атомов, заключенных в малом элементе объема, движется одинаково, можно рассматривать движение такого элемента объема как целого, не учитывая того, что он состоит из атомов. Вместе с тем и свойства тела — его плотность и упругость (которые вследствие атомной структуры должны резко изменяться от точки к точке) — внутри малого элемента объема следует считать постоянными, имеющими некоторые средние по элементу объема значения (койечно, если тело неоднородно, то от элемента к элементу свойства его могут постепенно изменяться). Так от дискретной системы с большим, но конечным числом степеней свободы мы переходим к сплошной колебательной системе с бесконечно большим числом степеней свободы. [c.693] Найдя нормальные колебания этой одномерной решетки и сопоставив, их с нормальными колебаниями сплошного стержня ( 149), мы сможем судить о том, как влияет атомная структура на характер нормальных колебаний. Конечно, при этом сопоставлении мы должны рассматривать 1) один и тот же тип колебаний, 2) одни и те же размеры (длину /), упругие свойства и плотности дискретной модели и стержня и 3) идентичные краевые условия. [c.694] Таким образом, рассматриваемой дискретной системе, обладающей п степенями свободы,, свойственны п нормальных колебаний, угловые частоты которых определяются выражением (19,16), т, е. не являются кратными наинизшей угловой частоте tOi первого нормального колебания (в отличие от нормальных частот сплошного стержня). Но пока k п, г. е. в области низких частот. [c.695] Но даже для самых быстрых упругих колебаний, с которыми приходится иметь дело в ультраакустике (см. 170), v гораздо меньше 5- 0 гц отсюда видно, что атомная структура тел никак не должна сказываться на изучаемых в механике упругих колебаниях этих тел. Поэтому в механике все тела, несмотря на их атомную структуру, можно рассматривать как сплошные. [c.696] Мы убедились, что неоднородность кристаллической решетки (атомы, обладающие, массой, разделены промежутками, в которых масс нет, но действуют упругие силы) играет принципиальную роль, когда размеры неоднородностей сравнимы с длиной упругой волны. Если же на длине волны укладывается много неоднородностей и смежные атомы совершают одинаковое движение, то тело можно рассматривать как сплошное, обладающее надлежащим образом усредненными свойствами наличие неоднородностей, малых по сравнению с длиной волны, не влияет на характер нормальных колебаний. [c.697] Такой же критерий (соотношение между размером неоднородностей и длиной волны) определяет роль макроскопических неоднородностей. Если сплошное тело (помимо неоднородностей, обусловленных атомной структурой, которые можно не учитывать) макроскопически неоднородно, например, упругий стержень составлен из сильно прижатых друг к другу чередующихся одинаковых латунных и алюминиевых цилиндров ), то для нормальных колебаний, соответствующих волнам, длина которых значительно превышает высоту одного цилиндра, стержень можно рассматривать как однородный, обладающий средней плотностью и средней упругостью. При расчете же нормальных колебаний, длина волны которых сравнима с высотой цилиндра, необходимо учитывать неоднородность стержня. При наличии неоднородностей решение задачи о колебаниях сплошных систем настолько усложняется, что удается рассмотреть только самые простые случаи, например системы с малой неоднородностью или очень плавно меняющимися вдоль длины системы свойствами. [c.697] Для того чтобы выяснить, при каких условиях такая замена возможна, а также чем определяется число степеней свободы той дискретной системы, которой может быть заменена данная сплошная неоднородная система, нужно проследить, как изменяется характер нормальных колебаний этой дискретной системы при изменении числа ее степеней свободы. [c.698] Конечно, само изменение числа степеней свободы может происходить только скачком, поскольку число степеней свободы — это целое число однако изменение свойств системы, в частности характера нормальных колебаний, при переходе от системы с одним числом степеней свободы к системе с другим числом степеней свободы может происходить непрерывно. [c.698] Коэффициент упругости пружин новой системы а = а/2, так как пружины стали вдвое длиннее, и поэтому при прежнем абсолютном растяжении деформация пружин, а значит, и упругая сила вдвое меньше с другой стороны, масса каждого груза новой системы т = 2т. Подставляя в (19.19) эти значения а и т, мы найдем приближенное выражение для k п, при 1, совпадающее с тем, которое было получено выше для исходной системы с п степенями свободы (19.17). [c.699] Таким образом, при переходе от системы с п степенями свободы к системе с /г/2 степенями свободы п/2 нормальных колебаний исчезают, а среди п/2 оставшихся нормальных колебаний группа низкочастотных колебаний (для которых k и/2) сохраняет примерно те же значения частот, как и в системе с п степенями свободы. [c.699] Чтобы проследить за тем, как исчезают п/2 нормальных колебаний, представим себе, что мы прервали операцию по переносу элементов массы Ат с нечетных грузов на четные, когда эта операция еще не завершена, но близка к завершению, т. е. когда массы четных грузов близки к 2т, а массы нечетных очень малы по сравнению с 2т. Колебания нечетных грузов не могут вызвать заметное движение четных, вследствие того что массы первых очень малы по сравнению с массами вторых (между тем со стороны одних на другие действуют одинаковые силы). Но когда четные грузы неподвижны, каждый нечетный груз движется так, как если бы концы пружин были закреплены неподвижно. Частота колебаний каждого груза при этом тем выше, чем меньше масса груза в результате очень значительного уменьшения масс нечетных грузов частоты п/2 колебаний, свойственных этим /г/2 грузам, уходят в область очень высоких частот. [c.699] Если мы возобновим операцию переноса элементов массы А/и, то частоты этих п/2 колебаний будут беспредельно возрастать, а когда массы нечетных грузов обратятся в нуль, все эти п/2 частот обратятся в бесконечность. Мы видим теперь, куда исчезают п/2 колебаний при переходе дискретной системы с п степенями свободы к системе с п/2 степенями свободы частоты этих исчезающих колебаний уходят в бесконечность . Если п = 2 , где р — целое число, то, переходя таким же образом от системы с п/2 степенями свободы к системе с /г/4 степенями свободы, затем к системе с /г/8 степенями свободы и т. д., мы дойдем до системы с одной степенью свободы (рис. 451, а),которой свойственно одно нормальное колебание из п нормальных колебаний, которые были свойственны исходной системе с п степенями свободы, п — 1 исчезли — их частоты обратились в бесконечность. [c.699] От системы с п степенями свободы мы могли бы совершить переход в направлении увеличения числа степенен свободы, например к системе с 2п степенями свободы, перенося малые доли грузов в точки пружин, лежащие посередине между соседними грузами (когда мы перенесем первый раз малые доли грузов в эти точки, сразу появятся и новых нормальных колебаний с очень высокими частотами). Повторив эту операцию достаточно большое число раз, мы получили бы систему с 2п одинаковыми грузами, каждый массы т/2, расположенными на расстоянии а/2 друг от друга. При этом из бесконечности приходят частоты п новых нормальных колебаний и общее число нормальных колебаний становится равным 2п. Таким же способом от системы с 2п степенями свободы можно перейти к системе с Ап степенями свободы и т. д., т. е. как угодно приблизиться к сплошной системе, обладающей бесконечно большим числом нормальных колебаний. Частоты всех этих новых нормальных колебаний (кроме тех п нормальных колебаний, которые были свойственны исходной системе с п степенями свободы) пришли из бесконечности. [c.700] Вернемся теперь к вопросу о том, что происходит с частотами тех нормальных колебаний, которые не исчезают при уменьшении числа степеней свободы системы. Как уже было показано при рассмотрении перехода от системы с п степенями свободы к системе с п12 степенями свободы, частоты нормальных колебаний, для которых k п/2, сохраняют примерно те же значения, какие они имели в системе с п степенями свободы. Но если после /)-кратного повторения операций переноса мы приходим к системе с п12 степенями свободы и п,/2 равно одной или нескольким единицам, то ни для каких значений k условие k п12 не выполняется. Следовательно, уже нельзя утверждать, что частоты колебаний, соответствующих малым k, остаются примерно такими же, как в системе с п степенями свободы. Однако, как будет показано, даже в том случае, когда от системы с п степенями свободы (д 1) мы путем р-кратного переноса элементов масс переходим к системе с одной степенью свободы (п/2 = 1), частота того единственного нормального колебания, которое сохранилось в этой системе при переходе от системы с п степенями свободы, испытывает лишь незначительное изменение. [c.700] Из сравнения выражений для m и ш видно, что при переходе от системы с п степенями свободы к системе с одной степенью свободы частота единственного неисчезнувшего нормального колебания уменьшилась примерно на 1/3. [c.701] Следует иметь в виду, что примененный нами способ преобразования системы с п степенями свободы в систему с одной степенью свободы не является единственно возможным. Мы могли бы выбрать, например, такой способ преобразования, при котором по окончании переноса элементов масс Ат массы всех трех грузов, свободного (k = I) и двух закрепленных (k = О и k = 2), оказались бы одинаковыми. Тогда свободный груз имел бы массу т = пт/3 и угловая частота ш его колебаний возросла бы в 1,7 раза, т. е. превышала бы частоту 0) примерно на 10%. [c.701] Вернуться к основной статье