ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Колебания сплошных систем как наложение бегущих и стоячих волн из "Физические основы механики " Рассмотренные в предыдущем параграфе случаи возникновения в стержне стоячих волн значительной амплитуды при заданном гармоническом движении одного из концов стержня представляют собой не что иное, как явление резонанса в сплошной системе. Чтобы вызвать гармоническое движение конца стержня, на этот конец должна действовать гармоническая внешняя сила. Как мы убедились, если бы потери энергии в стержне отсутствовали, то при определенных значениях частоты этой внешней силы амплитуда стоячих волн в стержне возрастала бы до бесконечности. Вследствие потерь энергии при распространении волны в стержне (а иногда и при отражении от его концов) амплитуда стоячей волны будет иметь конечную величину, и тем меньшую, чем больше потери энергии в стержне. [c.688] Вся эта картина характерна именно для явления резонанса, который должен наступать всякий раз, когда частота гармонической внешней силы совпадает с одной из нормальных частот колебательной системы. И действительно, сопоставив, с одной стороны, условия, определяющие частоты внешней силы, при которых амплитуды стоячих волн в стержне достигают максимального значения, а с другой — условия, определяющие частоты нормальных колебаний стержня ( 149), мы позднее убедимся, что те и другие условия совпадают. [c.688] Сейчас мы рассмотрим явление резонанса в упругом стержне с энергетической точки зрения. [c.688] Так же просто поддается рассмотрению другой предельный случай, когда жесткость связи С очень велика по сравнению с жесткостью стержня. Тогда конец стержня В должен двигаться так же, как и конец рычага А (деформацией очень жесткой связи можно пренебречь). Следовательно, в этом случае можно считать заданным движение конца стержня В, как мы это делали в 154. Конечно, это допущение справедливо лишь при условии, что не только связь С достаточно жесткая, но и что весь механизм достаточно жесткий, так что характер движения конца рычага А не изменяется под влиянием того, что конец рычага А жестко связан с концом стержня В. [c.689] Для того чтобы вызвать заданное движение конца стержня, механизм должен развивать большую силу, равную той упругой силе, которая возникает в крайнем слое стержня, прилегающем к концу В, когда этот конец совершает заданное движение ). [c.689] Работа внешней силы идет на создание и поддержание энергии упругих колебаний стержня, т. е. потенциальной энергии упругой деформации и кинетической энергии движения элементов стержня, Так как колебания происходят во всем стержне, то энергия, возникающая на одном конце стержня за счет работы внешней силы, должна распространяться по стержню, чтобы поддерживать во всем стержне колебания, которые сопровождаются потерями энергии. Только предполагая, что при распространении и отражении волны потерь энергии не происходит, мы пришли к выводу, что падающая и отраженная волны имеют одинаковую амплитуду и несут с собой одинаковую энергию в противоположных направлениях в результате наложения этих двух волн энергия не должна течь по стержню, во всяком случае после того, как стоячая волна в стержне уже установилась (при установлении стоячей волны картина течения энергии получается более сложной, и мы не будем ее рассматривать). [c.690] Действительно, когда падающая и отраженная волны имеют одинаковую амплитуду, то в узлах деформаций и скоростей амплитуды стоячей волны деформаций и скоростей соответственно обращаются в нуль. Но энергия может течь по стержню только в тех участках, где и деформация и скорость отличны от нуля. Следовательно, ни через сечения, в которых расположены узлы деформации, ни через сечения, в которых расположены узлы скоростей, энергия течь не может. [c.690] При наличии в стержне только одной стоячей волны, когда амплитуды в узлах смещений и скоростей падают до нуля, энергия может перемещаться только в пределах участка, ограниченного двумя соседними узлами смещений и скоростей (которые, как мы знаем, расположены на расстоянии V4 друг от друга). Энергия, заключенная в этом участке, периодически превращается из потенциальной в кинетическую и обратно. [c.690] Как же изменится рассмотренная картина, если учесть, что при распространении волны в стержне происходят потери энергии Вследствие этих потерь амплитуды как падающей, так и отраженной ёолн убывают по мере распространения падающей — от начала стержня к его концу ), а отраженной — от конца к началу. [c.690] Так как амплитуды падающей и отраженной волн в этом случае зависят от х (расстояния от начала стержня), то мы их будем обозначать соответственно через Xi (х) и (х), причем Xi Xj и Xj есть убывающая, а Xj — возрастающая функция х. Когда амплитуды двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, везде одинаковы, то Амплитуды стоячей волны в пучностях, как мы видели, равны удвоенной амплитуде двух волн и одинаковы во всех пучностях. Если же две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, имеют разные амплитуды х) и (л ), то волну большей амплитуды Х можно разбить на две составляющие, с амплитудами (л-) и Xi (х) — Х-2 (х). [c.691] Первая из этих составляющих вместе со второй волной амплитуды Х. (х) образует стоячую волну с амплитудами в пучностях, равными 2X2 (л). Второй составляющей, распространяющейся от начала стержня к концу его, не соответствует никакая волна, распространяющаяся в обратном направлении, и следовательно, вторая составляющая с амплитудой Xi (х) — Х (х) есть просто бегущая волна с амплитудой, убывающей с ростом х (так как Хх — убывающая, а Xj —возрастающая функция л) в частности, у начала стержня (х = 0) амплитуда этой бегущей волны равна Xj (0) — — Ха (0), а у конца стержня (х = I) Х (I) — Ха (I) = О, если потерями энергии при отражении можно пренебречь. Эта бегущая волна несет с собой энергию, возникающую у начала стержня за счет работы внешней силы распространяясь по стержню, эта энергия расходуется на потери, происходящие при колебаниях во всех участках стержня (поэтому бегущая волна по мере распространения затухает). [c.691] Что касается стоячей волны с амплитудами 2Xj (х) в пучностях, то эти амплитуды возрастают с ростом х (Ха — возрастающая функция х) от 2Ха (0) у начала стержня до 2Xi(0 =2Xj (I) у конца стержня (напомним, что потерями энергии при отражении от конца стержня мы пренебрегаем). Если потери энергии в стержне или длина стержня столь значительны, что отраженная волна затухает, не достигнув начала стержня, т. е. Xj (х-) обращается в нуль при л О, то у начала стержня стоячая волна вовсе будет отсутствовать и возникнет только ближе к концу стержня. Это и есть уже упоминавшийся случай, когда явления, происходящие у конца стержня (отражение волны), никак не сказываются на явлениях, происходящих в начале стержня, и начальный участок стержня можно рассматривать как участок бесконечно длинного стержня, по ноторому распространяется только бегущая волна. [c.691] Присутствие в стержне помимо стоячей также и бегущей волны (существование которой, как мы убедились, обусловлено потерями энергии в стержне) приводит к тому, что в тех местах, где образовались узлы стоячей волны (либо смещений и скоростей, либо деформаций), амплитуды соответственно смещений и скоростей или деформаций оказываются отличными от нуля, так как на стоячую волну налагается бегущая волна, амплитуды смещений, скоростей и деформаций которой нигде не обращаются в нуль. При этом чем больше потери энергии в стержне, тем меньше амплитуда Ха (х) и тем больше амплитуда бегущей волны Xi (х) — Xj (х) во всех точках стержня, и в частности во всех узлах стоячей волны, в том числе в начале стержня (где хотя и образуется узел смещений и скоростей стоячей волны, но где результирующие амплитуды смещений и скоростей не равны нулю, а имеют тем большие значения, чем больше потери энергии в системе). Этот вывод подтверждает справедливость тех представлений, из которых мы исходили выше при обсуждении вопроса о величине амплитуды стоячих волн в пучности для случая стержня, один конец которого совершает заданное движение. [c.691] Вернемся теперь к вопросу о тех соотношениях между нормальными частотами стержня и частотами внешней силы, при которых амплитуды стоячей волны в стержне достигают наибольшей величины. [c.691] Учтя все сказанное, мы можем констатировать, что частоты нормальных колебаний стержня и частоты действующей на стержень внешней силы, при которых амплитуды стоячих волн в пучностях достигают максимума, при аналогичных краевых условиях совпадают при одинаковых краевых условиях на обоих концах стержня на длине стержня должно укладываться целое число полуволн, а при разных краевых условиях на обоих концах стержня — нечетное число четвертей волн. [c.692] мы убедились, что возникновение в стержне под действием гармонической внешней силы стоячих волн значительной амплитуды представляет собой явление резонанса внешняя сила поддерживает сильные вынужденные колебания, частота и распределение амплитуд которых очень близки к частоте и распределению амплитуд одного из нормальных колебаний стержня. Роль внешней силы сводится при этом лишь к компенсации потерь энергии в стержне. Представим себе, что после установления стоячей волны потери энергии в стержне начинают уменьшаться, но вместе с тем мы уменьшаем амплитуду внешней силы (или заданного движения) так, чтобы амплитуда стоячей волны оставалась неизменной. В пределе, когда потери энергии в системе совсем прекратятся и амплитуда внешней силы обратится в нуль, в стержне останется стоячая волна, совершенно идентичная с соответствующим нормальным колебанием стержня. Таким образом, свойственные сплошной системе без потерь нормальные колебания тождественны со стоячими волнами, которые могут возникать в этой системе. [c.692] Этот вывод позволяет обосновать то положение, которым мы пользовались без доказательства при рассмотрении нормальных колебаний в сплошной системе. Именно, в 149 мы полагали, что распределение амплитуд нормальных колебаний должно быть либо синусоидальным, либо косинусоидальным теперь мы можем это положение считать обоснованным, поскольку мы убедились (в 154), что распределение амплитуд стоячих волн действительно является синусоидальным или косинусоидальным, а значит, таким же оно должно быть для нормальных колебаний. [c.692] Как мы убедились, под действием внешней силы в случае резонанса в системе возбуждаются стоячие волны, по характеру распределения амплитуд близкие к тому из нормальных колебаний системы, частота которого совпадает с частотой внешнего воздействия. В других случаях возбуждения интенсивных колебаний в сплошной системе дело обстоит аналогичным образом. Так, в случае параметрического возбуждения колебаний ( 152) интенсивные колебания возникают, когда частота колебаний ножки камертона вдвое больше одного из нормальных колебаний струны, и распределение амплитуд колебаний будет такое же, как для соответствующего нормального колебания струны на струне укладывается половина синусоиды , целая синусоида , полторы синусоиды и т. д. [c.692] Так же обстоит дело и в случае возбуждения автоколебаний в сплошной системе Рассуждая упрощенно, можно считать, что механизм, обусловливающий возникно вение автоколебаний в системе, компенсируя потери энергии в системе, поддерживает нормальные колебания этой системы. Например, в смычковых музыкальных инстру ментах (скрипка и др.) характеристика силы трения между смычком и струной та кова, что часть работы, совершаемой этой силой, идет на пополнение потерь энергии происходящих при колебаниях струны ). При автоколебаниях в большинстве слу чаев возбуждается колебание, частота которого близка к основному тону системы однако в некоторых специальных случаях возможно возникновение автоколебаний, близких к одному из обертонов системы. [c.692] Вернуться к основной статье