ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Колебания замкнутых систем (643Ь 148, Колебания в сплошных телах из "Физические основы механики " Прежде всего обратим внимание на следующее обстоятельство. Так как выбор координат связанных систем однозначно определяет способ их разбиения на парциальные, утверждение, что парциальные системы одинаковы, не может иметь абсолютного характера — парциальные системы могут оказаться неодинаковыми при выборе новых координат для определения состояния связанных систем. С другой стороны, при пер еходе к этим новым координатам нормальные частоты не должны изменяться, поскольку они являются абсолютными физическими характеристиками связанных систем, не зависящими от выбора систем координат. [c.638] Следовательно, при переходе к новым координатам, при котором одинаковые парциальные системы становятся неодинаковыми, нормальные частоты не должны изменяться. Чтобы проследить за тем, как это происходит, рассмотрим переход от одинаковых к неодинаковым парциальным системам на примере тех же связанных систем, которые были исследованы в предыдущем параграфе. [c.638] Чтобы получить первую парциальную систему, для которой = О, т. е. Уз = /ii нашу модель следовало бы снабдить приспособлением, которое обеспечивало бы одинаковые (в любой момент времени) отклонения масс т, и от оси х. Впрочем, как мы уже знаем, специального приспособления не потребуется, если только в начальный момент обе массы имеют одинаковые отклонения, так как при таких начальных условиях возникнут синфазные колебания и отклонения обеих масс все время будут равны. [c.639] У1 (i/i — отклонение массы от оси х — по-прежнему служит первой координатой). Тогда первую парциальную систему мы получим, положив y = О, т. е. i/з = —г/i. Для реализации такой парциальной системы следовало бы исходную систему снабдить приспособлением, которое обеспечивало бы в каждый момент одинаковые по величине, но противоположные по направлению отклонения масс и т, , т. е. допускало бы суш,ествование в системе только противофазных колебаний. Исходная система, описываемая координатами i/j и у,, при таком ограничении и будет представлять собой первую парциальную систему. Соответственно первая парциальная частота будет совпадать с частотой противофазных колебаний, т. е. с более быстрой из нормальных частот. Вторая парциальная система и в этом случае будет совпадать с второй парциальной системой в первом случае, и частота ее будет выше более медленной и ниже более быстрой из нормальных частот исходной системы. [c.639] Проанализировав все три случая, нетрудно убедиться, что во всех случаях нор-мальные частоты лежат по обе стороны интервала, ограниченного парциальными частотами, и хотя могут лежать на границах интервала, но не могут лежать внутри него. Действительно, в первом случае (одинаковых парциальных систем) нормальные частоты лежат одна выше, а другая ниже интервала (который в этом случае равен нулю), во втором и третьем одна из нормальных частот лежит вне интервала, а другая — на границе его (совпадает с одной из парциальных частот). [c.639] Такое важное соотрюшение (правда, только качественное, а не количественное) между парциальными и нормальными частотами, обнаруженное нами на трех частных примерах выбора различных координат исходной системы, а значит и различных парциальных систем, справедливо во всех случаях, когда парциальные системы определяются тем способом, которым мы все время пользуемся. Как бы ни были выбраны координаты исходной системы, если мы определяем парциальные системы, поочередно полагая равной нулю ту и другую координату, то низшая из нормальных частот не может быть больше низшей из парциальных, а высшая из нормальных частот не может быть меньше высшей из парциальных частот, которыми обладают определен-пые указанным выше способом парциальные системы. [c.639] полагая выше поочередно либо /i О, либо О, мы получили парциальные системы (не связанные между собой) полагая затем vi фй, мы получили две системы, связанные через пружину К - Выбрав в качестве координат исходной системы 1/з и i/4 и полагая поочередно либо у = О, либо = О, мы получили парциальные системы, в каждой из которых уже действует связь между массами и m2 через пружину ЛГг, и полагая затем /,, =7 О, 1/4 О, мы никаких новых связей между парциальными системами не вводили. В этом особом случае исходную систему можно рассматривать как две парциальные системы, не связанные между собой, поэтому переход от парциальных систем к исходной не связан с изменением частот. [c.640] К этому специальному случаю мы пришли, так выбрав координаты исходной системы, что колебания парциальных систем (определяемых поочередным приравниванием нулю этих координат) оказались тождественными нормальным колебаниям системы. Так выбранные координаты называются нормальными координатами. Введя эти нормальные координаты, мы определяем парциальные системы и находим парциальные, а значит, й нормальные частоты (поскольку те и другие совпадают между собой). Применяя нормальные координаты, Mbf как будто избавляемся от необ- ходимости рассматривать колебания в двух связанных системах с одной степенью свободы каждая, так как парциальные системы — это системы с одной степенью свободы каждая, не связанные между собой. Однако в действительности это не так. [c.640] Нормальные координаты всегда представляют собой некую линейную комбинацию естественных координат , например, линейную комбинацию у и рассматриваемой конкретной задачи. Но только в простейшем случае, когда массы равны, а пружины одинаковы, коэффициенты при у иу в этих линейных комбинациях могут быть равны только либо +1, либо —1. Поэтому легко было угадать эти линейные комби нации и найти нормальные координаты. [c.640] Во всех же более сложных случаях, когда коэффициенты при i/i и г/з в лиией ых комбинациях, выражающих нормальные координаты, могут быть отличны от 1, для того чтобы найти выражения нормальных координат, нужно предварительно определить значения этих коэффициентов. А для этого нужно решить уравнения, описывающие колебания в двух связанных системах. Таким образом, применение нормальных координат не облегчает решения задачи о колебаниях в связанных системах (поскольку для нахождения нормальных координат предварительно необходимо эту задачу решить) но после того, как эта задача решена, с помощью нормальных координат исходную систему можно формально представить в виде двух систем с одной степенью свободы каждая, не связанных между собой, и к колебаниям в этих системах применять результаты теории колебаний систем с одной степенью свободы. [c.640] Следовательно, при существенно различных парциальных частотах начальная энергия, сообше1П1ая одной из систем с одной степенью свободы, почти целиком остается в этой системе и только очень малая доля ее перекачивается во вторую систему и обратно бисЕШя будут очень неглубокими. Л это значит, что только в тон системе, которой сообщена начальная энергия, возникнут колебания и частота этих колебаний будет близка к парциальной частоте этой системы. (Этим случай двух существенно различных парциальных частот в корне отличается от случая равных парциальных частот, когда даже при очень слабой связи энергия полностью перекачивается из одной системы в другую и обратно.) Рис. 419. [c.641] Продемонстрировать этот случай можно при помощи следующей установки (рис. 420). На упругой пластинке Ki укреплена масса т, подобранная таким образом, что парциальная частота этого резонатора заметно отличается от удвоенной ) частоты технического переменного тока. Однако, несмотря на несовпадение частот, под действием сильного электромагнита, питаемого переменным током пластинка К все же совершает заметные вынужденные колебания. Но если на этой пластинке укрепить другую Кг, парциальная частота которой точно равна удвоенной частоте переменного тока, то эта вторая пластинка будет очень сильно раскачиваться (рис. 420, б), а колебания пластинки Ki заметно ослабеют. Если эту вторую пластинку ( успокоитель ) Кг задержать рукой так, чтобы она не смогла колебаться, то снова начинает сильно раскачиваться пластинка /С] (рис. 420, в). [c.642] Причина успокоения пластинки А,, состоит в том, что вторая пластинка, совершающая сильные вынужденные колебания, действует на первую с силой, которая по амплитуде почти равна, а по фазе почти противоположна внешней силе. Реакция второй пластинки на первую почти компенсирует действие па первую внешней силы. Вместе с тем, так как при этом пластинка Ку почти неподвижна, то резонанс для пластинки Кг наступает именно на ее парциальной частоте, а не на одной из нормальных частот. Это явление широко используется в различного рода успокоителях для устранения вредных вибраций машин, уменьшения качки корабля и т. д. Для этой последней цели внутри корпуса корабля помещаются большие цистерны, наполненные водой и соединенные между собой трубами (так называемые цистерны Фрама). При качке корабля происходят колебания уровня воды в цистернах, и эта колебательная система играет роль успокоителя. [c.643] Среди рассмотренных выше колебательных систем ни одна не являлась замкнутой, поскольку в этих системах нити или пружины, прикрепленные к колеблющимся телам, другими своими концами были закреплены в неподвижных точках, либо сами колеблющиеся упругие тела были закреплены в неподвижных точках. В таком случае на колеблющееся тело со стороны этих закреплений действуют внешние силы, вследствие чего колебательная система не является замкнутой. Но легко себе представить такие колебательные системы, в которых колеблющиеся тела действуют друг на друга с упругими силами, но никакие другие силы извне на колеблющиеся тела системы не действуют и, следовательно, колебательная система является замкнутой. [c.643] Простейшим примером такой замкнутой колебательной системы может служить пара одинаковых шаров, связанных между собой пружиной. Если мы, например, положим эти шары на гладкое стекло, сблизим их так, чтобы соединяющая их пружина сжалась, а затем сразу освободим их, то шары будут совершать колебания —сближаться и удаляться друг от друга. Так как шары представляют собой замкнутую систему ), то общий импульс системы при колебаниях должен оставаться неизменным. А так как шары в начальный момент покоились, то дальше они должны двигаться так, чтобы их общий импульс оставался равным нулю. Простейшее движение, которое удовлетворяет такому условию, — это движение шаров по прямой, соединяющей их центры тяжести, со скоростями, равными по величине и противоположными по направлению. При этом центр тяжести системы будет покоиться в неподвижной точке, лежащей на одинаковом расстоянии от центров обоих шаров. [c.643] Легко убедиться, что найденные нами скорости движения шаров гантели удовлетворяют закону сохранения импульса так как скорости колебаний шаров относительно центра тяжести гантели противоположны по направлению, то общий импульс колеблющихся шаров равен пулю. Но, кроме того, центр тяжести шаров движется поступательно с постоянной скоростью Di/2. Постоянный импульс, связанный с этим поступательным движением, как легко видеть, равен тому импульсу, который приобрела гантель в начальный момент в результате удара отдельного шара. [c.646] Вернуться к основной статье