ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Негармоническое внешнее воздействие. Вынужденные колебания в апериодических системах из "Физические основы механики " Явление резонанса можно рассматривать как случай, когда под действием гармонической внешней силы система совершает почти собственные колебания. Роль внешней силы сводится главным образом к компенсации действуюш,их в системе сил трения. [c.611] Амплитуды вынужденных колебаний зависят не только от соотношения между частотами ш и (Оц, но и от величины сил трения в системе. Как видно из (17.22), чем больше затухание а, тем меньше при прочих равных условиях амплитуда вынужденных колебаний. Но вдали от резонанса силы трения вообш.е не играют заметной роли поэтому и изменение величины сил трения мало изменяет амплитуду вынужденных колебаний. В области резонанса, где именно силы трения играют сс-новную роль, изменение их существенно сказывается на изменении амплитуды вынужденных колебаний. В частности, при резонансе, как видно из (17.25), амплитуды вынужденных колебаний изменяются обратно пропорционально Ь. Поэтому с увеличением сил трения вся кривая резонанса опускается вниз, но максимум этой кривой опускается гораздо резче, чем области, далекие от резонанса (рис. 394) кривая резонанса при увеличении сил трепия притупляется. Менее резкими становятся и изменения сдвига фаз в области резонанса. С увеличением затухания системы все явление резонанса становится все менее и менее заметным и при больших затуханиях (6 порядка 1 и больше) вообще исчезает. [c.611] Резонансными свойствами, т. е. способностью особенно сильно отзываться на колебания одной определенной частоты, обладают только системы с малым затуханием. Поэтому для-использования явления резонанса, например для измерения частоты колебаний, необходимо применять резонаторы с возможно малым затуханием. Наоборот, в тех случаях, когда явление резонанса играет вредную роль и его необходимо устранить, следует по возможности увеличивать затухание колебательной системы. [c.611] Из соотношения (17.29) без детального рассмотрения сразу можно объяснить отмеченную выше черту картины установления. Так как собственные колебания затухают, то в конце концов в системе останутся одни вынужденные колебания. Но чем меньше затухание системы, тем дольше нужно ждать, пока затухнут собственные колебания, тем дольше длится процесс установления. Другими словами, чем резче выражены резонансные свойства системы, тем дольше длится установление резонанса. Это общая и весьма принципиальная черта всех резонаторов. [c.612] Из соотношений (17.30) и (17.32) следует, что Хд=Х, г ) = ф + Л. [c.612] Результат сложения собственных и вынужденных колебаний представляет собой колебания с амплитудой, нарастающей до значения X по закону 1 — (рис. 395). Если мы за время установления примем время, в течение которого амплитуда вынужденных колебаний достигает, например, 0,99 X (собственные кoлeбa шя затухают до 0,01 X), то для времени установления вынужденных колебаний мы получим то же зна чение т = 4,6-Т/8, которое получили выше для времени затухания собственных колебаний ( 137). [c.613] В Хорошем резонаторе с б порядка 0,01 должно пройти несколько сот периодов, пока колебания успеют установиться. [c.613] С одной стороны, явление резонанса резко выражено только в случае малого затухания резонатора с другой, чем меньше затухание резонатора, тем дольше нужно ждать, чтобы резонанс установился. Поэтому явления резонанса отчетливо наблюдаются только в том случае, когда за время установления резонанса внешнее воздействие не успевает прекратиться или вообще измениться. Явление резонанса позволяет обнаруживать очень слабые колебательные воздействия, т. е. дает очень чувствительный способ обнаружения и измерения колебаний но для этого измеряемое воздействие должно длиться достаточно долго. Увеличение чувствительности измерительного прибора (которым служит резонатор) требует увеличения длительности наблюдения, а значит, накладывает ограничения на скорость изменения измеряемых величин. [c.613] Если внешняя частота со несколько отличается от частоты резонатора соо, то картина установления усложняется поскольку со о. собственные и вынужденные колебания дают биения амплитуда колебаний системы в этом случае нарастает не монотонно, а проходя через ряд минимумов и максимумов. Однако по-прежнему начальная амплитуда собственных колебаний равна амплитуде вынужденных и нарастание амплитуды начинается с нуля. Далее вследствие затухания собственных колебаний глубина биений уменьшается, и биения постепенно исчезают. Чем меньше о) — Ыо , тем больше период биений. При очень малом ш — сОо собственные колебания успевают затухнуть еще в течение первого полупериода биений. Картина установления постепенно переходит в ту, которую мы получили для случая совпадения Ш и (йд. [c.613] Если В какой-либо момент действие внешней силы внезапно прекращается, система соъе ртатъсобственньсе колебания, амплитуда которых определяется теми значениями смещения и скорости в момент /i, которыми обладает система вследствие того, что до этого момента она совершала вынужденные колебания. Как ясно из всего сказанного выше, затухают эти собственные колебания за то же время т, в течение которого происходило установление вынужденных колебаний (рис. 396). [c.614] Чем выше добротность системы Q (чем меньше затухание d), тем острее кривая резонанса. Ширина кривой резонанса на некоторой условно выбранной высоте может также служить количественной характеристикой эфс )екта резонанса. Ширину кривой резонанса принято измерять на высоте X = DJX sk (см. рис. 388). При так выбранном значении амплитуды смещений энергия колебаний составляет 0,5 от максимальной энергии колебаний при резонансе (так как энергия колебаний пропорциональна Х ). Ширина полосы резонанса Д(о на выбранной таким образом высоте называется шириной полосы резонанса по половине мощности . Ао тем меньше, чем меньше затухание d, и при малых затуханиях пропорциональна d. [c.614] Если бы смещения были столь велики, что для пружины становились заметными отклонения от закона Гука, а скорости столь велики, что становилась заметной зависимость массы от скорости, собственные колебания по форме отличались бы от гармонических. В этом можно убедиться на простейшем примере груза на пружине если бы закон Гука не соблюдался, то уравнение (17.2) не было бы линейным и его решение не было бы гармоническим. [c.615] Системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называют линейными системами, а описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями — нелинейными. Таким образом, собственные колебания являются гармоническими только в линейных колеба7ельных системах и только к линейным системам относится все сказанное выше о собственных и вынужденных колебаниях. [c.615] Линейные системы обладают еще одной важной чертой. Если параметры, определяющие свойства системы (масса тела, коэффициент упругости пружины, коэффициент трения), не зависят от смещения и скорости тела, то, значит, свойства системы не изменяются от того, что в системе происходят какие-либо движения, например собственные колебания. Поэтому внешнее воздействие будет вызывать в линейной системе такой же эффект, как и в случае, когда собственные колебания отсутствуют (на этом основании мы и имели право рассматривать выше процесс установления как наложение собственных и вынужденных колебаний, поскольку речь шла о линейной системе). Точно так же в случае, когда линейная система подвергается одновременно двум воздействиям, каждое из них вызывает такой же эффект, как и в случае, когда другое воздействие отсутствует. Поэтому результирующий эффект двух (или нескольких) воздействий будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности. Это уже знакомый нам принцип суперпозиции, который был применен в 108 к статическим состояниям линейной упругой системы. Здесь мы его применяем к динамическим состояниям линейной колебательной системы. Как ясно из сказанного, принцип суперпозиции справедлив только в линейных системах и не соблюдается в нелинейных системах. [c.615] Мы рассматривали до сих пор случай, когда внешняя сила изменяется по гармоническому закону. Однако на практике очень часто приходится иметь дело с воздействиями, хотя и повторяющимися или приблизительно повторяющимися, но не по гармоническому закону, например периодическими резкими толчками. Чтобы ответить на вопрос, как ведет себя линейная колебательная система (гармонический резонатор) при таких негармонических воздействиях, можно воспользоваться тем, что мы уже знаем о воздействии гармонической внешней силы. [c.616] Для линейной колебательной системы справедлив принцип суперпозиции. Поэтому негармоническое внешнее воздействие на систему мы можем рассматривать как сумму гармонических воздействий как влияет на систему отдельное гармоническое воздействие, мы уже знаем. И если мы знаем, как представить негармоническое воздействие в виде суммы гармонических, то мы сразу получим ответ на интересующий нас вопрос. Математические методы разложения любой функции в ряд гармонических функций (ряд Фурье) хорошо известны. Мы не будем, однако, рассматривать эту математическую задачу в полном объеме, а воспользуемся некоторыми качественными соображениями, пояснив их на конкретных примерах. [c.616] На рис. 398 жирной линией изображена периодическая функция с частотой = 2я/Т, которая кроме основного тона с частотой содержит еще второй, и третий обертоны с частотами 2 oi и S oj. [c.617] Вообще всякую периодическую, но негармоническую функцию с частотой и можно разложить в спектр, т. е. представить в виде ряда гармонических функций с частотами со- 2о ,, 3(0i,. .. (вообще пщ, где п — номер гармоники), кратными основной частоте. Чем сильнее отличается от гармонической разлагаемая функция, тем богаче ее спектр, тем больше обертонов содержится в разложении и тем больше амплитуды этих обертонов. В общем случае спектр периодической функции содержит беско-. нечный ряд гармонических обертонов (т. е. имеющих частоты, кратные частоте основного тона), амплитуды которых, вообще говоря, убывают (но не всегда монотонно) с увеличением номера обертона. Чем более плавной является разлагаемая функция, тем быстрее убывают амплитуды обертонов. Хотя разложение периодической функции в гармонический ряд дает в общем случае бесконечный спектр, но вследствие того, что обертоны спектра обычно быстро убывают, практически приходится принимать во внимание наличие только некоторого конечного (и небольшого) числа обертонов. [c.617] ОТ собственной частоты резонатора. Резонатор будет совершать вынужденные колебания, примерно такие же, как если бы во всем внешнем воздействии содержалась только та гармоническая составляюш,ая, частота которой близка к его собственной частоте. Эти вынужденные колебания будут почти гармоническими, хотя само внешнее воздействие по форме существенно отличается от гармонического. [c.618] например, обычный маятник подталкивать малыми толчками, направленными в одну сторону и действующими один раз за период его колебаний (так что каждый толчок приходится на одну и ту же фазу колебаний), то оп раскачается и будет совершать вынужденные почти гармонические колебания, хотя внешняя сила (толчки) вовсе не является гармонической. Но внешняя сила имеет период, совпадающий с собственным периодом маятника. Из всего спектра негармонического внешнего воздействия маятник отзывается только на основной тон. [c.618] Вернуться к основной статье