ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод изображающих амплитудных кривых из "Расчет нелинейных автоматических систем " Разработанный К. Магнусом (ФРГ) метод изображаю- щих амплитудных кривых представляет собой сочетание-метода гармонического баланса и метода исследования устойчивости регулирования линейных систем с помощью критериев Рауса и Гурвица. Идея сочетания методов гармонического баланса и Рауса — Г урвица позволяет создать довольно общий и эффективный метод, при помощи которого практически можно исследовать многие динамические свойства нелинейных систем. [c.73] Далее для упрощения рассуждений будем считать нелинейную функцию / (Л51пшг ) нечетной, для которой-Со = v = О, и пренебрежем высшими гармониками, что справедливо для систем, в которых при нарушении устойчивости регулирования возникают колебания, близкие к гармоническим. [c.73] Индексы 5 или с в выражении /Сз Р или Кс [Р) указывают наличие синуса или косинуса в подынтегральной функции. [c.74] Гармоническая линеаризация позволяет систему исходных нелинейных дифференциальных уравнений заменить эквивалентной линеаризованной системой. [c.74] Из уравнения (28) следует, что колебания различных оординат системы хотя и имеют различные амплитуды Лv, связанные между собой, и различные сдвиги по фазе Фо, однако происходят с одинаковой частотой колебаний ш. [c.74] После получения в указанном выше порядке эквивалентной системы в рассматриваемом методе производится определение границы устойчивости с использованием критерия Гурвица. [c.75] В принципе определение границы я области устойчивости производится так же, как и в случае линейных систем. Отличие состоит только в том, что ряд коэффициентов эквивалентной системы в отличие от линейной системы не являются постоянными числами, а являются функциями амплитуды колебаний. Поэтому каждому значению амплитуды колебаний соответствует своя изображающая точка в области каких-либо выбранных коэффициентов системы. При изменении амплитуды колебаний изображающая точка в области коэффициентов системы опишет кривую, которая называется амплитудной кривой (рис. 28). [c.75] Далее следует определить границу области устойчивости при помощи критерия Г урвица, полагая предпоследний определитель Гурвица 7 = Д , = О и считая все остальные определители Гурвица положительными. [c.75] НИИ амплитудной кривой. На рис. 29 приведена диаграмма устойчивости, на которой произведено построение границы устойчивости и ряда амплитудных кривых, соответствующих различным системам (различные параметры системы). Рис. 29 позволяет рассмотреть важнейшие свойства систем, вытекающие из взаимного расположения на диаграмме устойчивости границы устойчивости и амплитудной кривой А. [c.76] Укажем следующие основные случаи, показанные на рис. 29. [c.76] Случай 1-й. Кривая А находится в области устойчивости ( 0). В этом случае система устойчива в большом. [c.76] Случай 2-й. Кривая А находится в области неустойчивости (7 0). В этом случае система неустойчива. [c.76] Случай 3-й. Кривая А пересекает границу устойчивости ( = 0). В этом случае в системе возможны колебания. Причем колебания, соответствующие точке пересечения кривых Ли/ , устойчивы, если кривая А, пересекая кривую / =0, переходит из области / О в область / О и, наоборот, неустойчивы, когда кривая А переходит из области / О в область / 0. [c.76] На рис. 29 кривые ///, /V, V и V/ иллюстрируют возможные случаи пересечения кривых Ли/ . Первые два случая (/// и /V) были уже рассмотрены. Последние два случая (V и VI) соответствуют двойному пересечению кривых Ли/ . Для системы V первая точка пересечения неустойчива, а вторая— устойчива. Для системы VI, наоборот, первая точка пересечения кривых Ли/ соответствует устойчивым колебаниям, а вторая — неустойчивым. [c.76] Для пояснения метода изображающих амплитудных кривых рассмотрим пример, приведенный в работе К- Магнуса. [c.76] Нелинейная функция сервопривода Р x ) имеет вид, показанный на рис. 30. [c.77] Последнее уравнение позволяет произвести построение границы устойчивости на плоскости, например, в координатах к (Л) и ку (Л). На этой плоскости (рис. 31) границей устойчивости является прямая линия, проходящая через начало координат под углом, зависящим от коэффициентов Т ц V. [c.77] Поскольку л = 0,15, то для всех Л 0,15 коэффициенты Л (Л) и Л,(Л) равны нулю. [c.78] Эти кривые, полученные приближенным методом изображающих амплитудных кривых и точным методом, достаточно хорошо совпадают. Приближенный расчет дает несколько завышенное значение ампли туды колебаний. [c.79] Вернуться к основной статье