ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные методы исследования из "Расчет нелинейных автоматических систем " Метод фазовой плоскости широко применяется при исследованиях систем, описывающихся нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Решение же нелинейных дифференциальных уравнений более высокого порядка зависит от того, насколько возможно распространить метод фазовой плоскости на пространственные задачи. Применение электронных вычислительных машин зна-. чительно облегчает выполнение указанной задачи. [c.20] Метод фазового пространства изложен в капитальной работе А. А. Андронова и С. Э. Хайкина. С целью пояснения основного содержания метода фазовой плоскости рассмотрим несколько примеров. [c.20] Пример 2. Определим фазовый портрет для точки, совершающей гармонические колебания по закону. i = а sin kt (рис. 3,а). [c.21] В этом случае периодических колебаний на фазовой плоскости имеются замкнутые траектории — эллипсы, причем для различных амплитуд колебаний на фазовой плоскости имеется целое семейство эллипсов (рис. 3,6). [c.21] График затухающих колебаний точки и ее фазовый портрет для рассматриваемого случая представлены на рис. 4. [c.22] График затухающих колебаний точки и ее фазовый портрет. [c.22] Нетрудно показать, что через каждую точку фазовой плоскости, в которой одновременно не обращаются в нуль скорость и ускорение, проходит только одна интегральная кривая, а следовательно, одна фазовая траектория. Наоборот, в точках фазовой плоскости, в которых обращается одновременно в нуль скорость и ускорение д = 0ил=0, пересекаются несколько фазовых траекторий. Такие точки называются особыми точками дифференциального уравнения интегральных кривых. [c.22] Для системы второго порядка условие х = О и л = О соответствует условию равновесия системы. Следовательно, особым точкам на фазовой плоскости соответствуют состояния равновесия системы. [c.22] Особые точки могут быть различные (центр, фокус, узел, седло). [c.22] В тех случаях, когда фазовые траектории являются кривыми параболического типа и изображающие точки с течением времени также неограниченно приближаются к началу координат, такая особая точка называется устойчивым узлом. В этом случае в системе происходят устойчивые апериодические процессы (рис. 5). В противном случае узел будет неустойчивым (рис. 6). [c.23] В нелинейных системах возможны режимы автоколебаний. Поэтому характер особых точек для нелинейных систем еще не определяет поведения изображающей точки на всей фазовой плоскости. В таких случаях требуется дополнительно выяснить характер движения изображающей точки вдали от точки равновесия. Для нелинейных систем имеется три типа особых траекторий точка равновесия, предельные циклы, усы седел. [c.24] Точка равновесия, или особая точка, является отдельной фазовой траекторией. [c.24] Предельные циклы представляют собой изолированные замкнутые кривые, к которым наматываются или сходят с них все остальные соседние траектории. Предельные циклы могут быть устойчивыми, неустойчивыми и полу-устойчивыми. Фазовые портреты могут содержать два предельных цикла. [c.24] Примеры фазовых портретов, содержащие особые траектории, показаны на рис. 8. [c.24] Таким образом, пофазовому портрету можно получить представление о характере исследуемого переходного процесса. [c.24] При исследованиях нелинейных автоматических систем, приходится производить приближенное построение фазо вого портрета, которое в ряде случаев является одним из способов приближенных исследований. [c.25] Наиболее широкое распространение для приближенного построения фазового портрета получил так называемый метод изоклин. [c.25] Полагая = с = onst, получаем на плоскости в координатах х и х кривую равного наклона, которая называется изоклиной. Далее, меняя величину с, нетрудно получить на плоскости семейство изоклин. [c.25] Поскольку для каждой изоклины известен наклон интегральной кривой, то графическое определение касательных к интегральным кривым и самих ин тегральных кривых не вызывает особых затруднений. [c.25] Это уравнение аналогичным образом можно представить в виде — У(1х— с1х = йх. [c.29] Вернуться к основной статье