ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Оценивание параметров сигналов аналитических приборов при наличии помех из "Автоматизация аналитических систем определения состава и качества вещества " Оценка метода максимального правдоподобия. Оценки ММП (при ограничениях, относительно редко нарушаемых на практике [16, т. 2] обладают свойствами состоятельности, асимптотической несмещенности и, хотя бы асимптотических, нормальности и эффективности. Основной недостаток оценивания ММП в общем случае — это вычислительные трудности, возникающие при решении уравнения правдоподобия и необходимость априорного знания законов распределения. [c.41] Система (1.66) называется уравнениями правдоподобия. [c.41] Пренебречь нельзя (что часто встречается при обработке сигналов аналитических приборов), предполагая их нормальность и объединяя векторы невязок (1.67) и (1.72) в (п + т)-мерный вектор А, можно воспользоваться для получения оценок 0 выражениями (1.69) или (1.71). [c.42] Подставляя полученное выражение в (1.70), после преобразования получаем минимизируемый функционал Ф(0) в виде, совпадающим с (1.71). [c.42] Таким образом, найдя оценки 0 при минимуме (1.71), по (1.73) оценим (7 . Оценка (1.73) является смещенной, но состоятельной. Способы устранения смещения приведены в [34]. [c.42] Отсюда В = V2 В ДА В . Умножив это выражение на В справа и слева, имеем В = VsAA . Подставим эту оценку В в (1.68). Тогда минимизируемый функционал примет вид Ф(0) = 1п det АЛ . [c.43] Если неизвестна матрица В и независимые переменные также измерены с неизвестными ошибками, то оценить их указанным методом невозможно, поскольку 1п W (Y, 0) не имеет максимума [34]. [c.43] В случае других видов распределений, если они носят непрерывный и гладкий характер, получить уравнение правдоподобия обычно не представляет особого труда. Но если функция распределения разрывная, то задача осложняется. Например, в случае равномерного распределения все значения 0 одинаково правдоподобны. Такие случаи также рассмотрены в работе [34]. [c.43] Для решения уравнений правдоподобия в общем случае используется два метода метод последовательных приближении и метод малого параметра, описанные, например, в работах [16, т. 2] и [15], соответственно. [c.43] Г—матрица (пУ,Ы) частных производных с элементами у ,-— др1(В)1д 1, вычисленная при 0 = 0р р — номер приближения (номер итерации). [c.44] Здесь Р — по-прежнему матрица (п X п) весовых коэффициентов рг, г — вектор (Л Х1) с элементами Д0/, Д — вектор (пХ1) определяемый по (1.67) при Р( ) = (0р). [c.44] После вычисления с учетом полученных поправок 2р нового значения параметров 0р+ь проверяется критерий останова итерационного процесса, и, если он не выполняется, вычисляются новые значения элементов матрицы Гр+ь вектор Ар+1 и повторяется процедура решения системы нормальных уравнений (1.79). [c.44] Сходимость процесса должна определяться по комбинированному критерию необходимо контролировать малость величины приращения оценок параметров г (с обязательной проверкой по всем составляющим вектора) и учитывать близость к нулю градиента или стабилизацию суммы квадратов остаточных невязок Ф. При этом малость соответствует величинам 10 —10- и определяется конкретными условиями обработки. [c.44] Иногда получаемую оценку называют марковской, в отличие от оценки классического МНК, при вычислении которой предполагается некоррелированность отсчетов сигнала (белый шум). Таким образом, при использовании марковской оценки нужно априорно знать ковариационную матрицу помех при работе с обычным МНК знание этой матрицы не требуется [хотя оптимальными свойствами полученные оценки будут обладать только при гауссовско (в первом случае) и белом (во втором случае) шуме]. Этим и объясняется широкое распространение оценок МНК. [c.45] С целью уменьшения влияния неадекватности модели часто веса назначают так, чтобы вклад участков сигнала, плохо описываемых моделью, был уменьшен. Аналогично уменьшают веса на участках с малым сигналом, так как измерения здесь проводятся менее точно. [c.45] Однако оценки МНК сохраняют свои свойства в довольно широкой области, позволяют при векторном оценивании в классе линейных несмещенных оценок получать при раздельном оценивании параметров оценки с наименьшими дисперсиями, процедуры их получения хорошо отработаны, — все это и обеспечило их широкое распространение в практике. В частности, вычислительные схемы МНК позволяют организовывать рекуррентные процедуры (см. раздел 2.3). [c.46] Типовые вычислительные схемы метода наименьших квадратов. Вычислительные процедуры получения оценок МНК входят в математическое обеспечение ИВК и отличаются в основном способами вычисления обратной матрицы С , что существенно для случаев, когда она плохо обусловлена методами минимизации Ф(0) в (1.75) и получения сходимости итерационной процедуры. Опубликованы достаточно подробные обзоры методов, например [20, 21, 36]. Приведены описания программных модулей на базе алгоритмов МНК, разработанных для математического обеспечения ЕС ЭВМ [35]. Поэтому кратко остановимся только на процедурах, обладающих относительной устойчивостью при нарушениях предположений МНК. При обработке сигналов приборов это особенно важно, поскольку из-за наличия ошибок измерений как зависимой, так часто и независимых переменных трудно высказать определенное суждение о вырожденности или невырожденности системы (1.79). В этом случае задача относится к числу некорректно поставленных и процедура отыскания нормального решения (в смысле классического МНК) будет неустойчивой [37]. [c.46] Особенно это следует учитывать при нелинейной модели сигнала относительно параметров (нелинейный МНК). Иногда к линейной модели можно перейти заменой переменных ( внутренне линейные модели). Однако здесь минимизируется функционал (1.75) в новых переменных, поэтому оценки, полученные для параметров исходной модели, будут отличаться от тех, которые мы получили бы при решении нелинейной системы нормальных уравнений (1.76). Таким образом, необходимо уточнение решения в итерационной процедуре или с помощью коррекций, ускоряющих получение оценок. Для ряда преобразований эти коррекции приведены в приложении (табл. П.З). [c.46] Вычислительные сложности, к которым приводят методы первой группы, предопределили их относительно малое использование на практике. При обработке сигналов аналитических приборов вычисление вторых производных (если они существуют) часто затруднительно и требует значительных затрат машинного времени. Поэтому здесь эти методы не рассматриваются их описание можно найти, например, в [34, 38]. [c.47] К этой группе, прежде всего, относится метод наискорейшего спуска (Кр=1) использованный в процедуре адаптации компенсатора помех (см. раздел 1.3). Различные варианты метода приведены в [38, 39]. [c.47] Вернуться к основной статье