ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Краткие сведения из векторного анализа и линейной алгебры из "Механика стержней. Т.1 " Различают три вида векторов. Векторы, связанные с точкой пространства, например сосредоточенные силы Р , приложенные в некоторой точке упругого тела (рис. П.1). Такие векторы называют связанными или полярными. При исследовании равновесия или движения упругих элементов переносить сосредоточенные силы в другие точки или смещать по линии их действия нельзя. Примерами связанных векторов являются вектор скорости v элемента стержня и вектор ускорения v (рис. П.1). [c.290] В записи суммы слагаемых в формуле (П.1) использовано принятое в тензорном исчислении правило знак суммы можно не писать, если в формуле есть два одинаковых индекса. Такие индексы называются немыми. Немые (повторяющиеся) индексы можно заменять на любые другие индексы. Неповторяющиеся индексы называются свободными. [c.291] Если базисные векторы взаимно ортогональны и модули их равны единице, то они называются ортами прямоуго.гьной системы координат. В механике стержней получили широкое распространение неподвижные декартовы оси Хи Х2, Хз (рис. П.З) и подвижные ортогональные оси х ь х 2, х, связанные с осевой линией стержня. Принята правая система координат, т. е. система координат, когда оси переходят одна в другую поворотом против часовой стрелки (например, на рис. П.З xi переходит в Х2 поворотом относительно оси, 1 з против часовой стрелки). Базисные векторы неподвижных декартовых осей обозначены i,, базисные векторы подвижных декартовых осей—е,. [c.291] Наряду с прямолинейными декартовыми для записи уравнений и их решений используются ортогональные криволинейные координаты цилиндрические, сферические и т. п. Например, при движении гибкого стержня по цилиндрической поверхности наиболее удобными координатами для записи уравнений являются цилиндрические координаты. На рис. П.4 показаны цилиндрическая система координат и соответствующий базис е,)(ег, е,, еу). Более подробно о криволинейных осях сказано в п. 2.8. [c.291] Скалярное произведение, как следует из его определения, обладает свойством коммутативности (перестановочности), т. е. [c.292] При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. [c.293] Рассмотрим два вектора, получающиеся из (П.31) циклической перестановкой векторов а, Ь и с, т. е. [c.294] Матрицы L устанавливают связь между векторами базисов е,о и e,j. связанных с произвольным сечением стержня (см. рис. П.З), до н после на-гружения стержня силами. [c.298] Напомним, что матрица L° — это матрица с известными элементами, характеризующими пространственную форму осевой линии в ненаг[ уженном естественном состоянии L — матрица, характеризующая изменения осевой линии стержня в нагруженном состоянии по отношению к его естественному состоянию. Если в естественном состоянии стержень прямолинейный, то 1 = Е. [c.298] Полученные соотношения (П.59) и (П.60) позволяют при преобразованиях уравнений переходить от одной координатной системы к другой. [c.299] Вернуться к основной статье