ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенные методы решения задач статики прямолинейных стержней из "Механика стержней. Т.1 " Принцип возможных перемещений может быть использован для приближенного решения задач статики стерл ней наряду с более привычным решением дифференциальных уравнений равновесия. Для этого необходимо обобщить этот принцип так, чтобы его можно было распространить на упругие системы. Для упругих систем, например стержней (или в более общем случае для деформируемых систем), необходимо принимать во внимание не только работу внешних, но и работу внутренних сил, возникающих при отклонениях упругой системы от исходного состояния. Остановимся более подробно на понятии возможного перемещения для стержней. Возможным (или виртуальным) перемещением называется всякое малое неремещенне точек осевой линии стержня из исходного состояния без нарушения связей, наложенных на стержень. Например, для стержня, показанного на рис. 4.9, любая функция бг/(е), мало отличающаяся от функции у (г) и удовлетворяющая тем же краевым условиям, что и функция у е), может рассматриваться как возможные перемещения для точек осевой линии стержня. Любое возможное перемещение бг/(е) стержня является непрерывной функцией. [c.167] Работа бЛ есть работа внешних обобщенных сил, приложенных к конструкции, на возможных перемещениях точек приложения этих сил. [c.168] На возможных перемещениях внешние силы сохраняют свое значение, поэтому работа каждой из сил равна произведению силы на обобщенное возможное перемещение, т. е. [c.168] Свободные слагаемые в силу краевых условий равны нулю. [c.169] Полученное выражение (4.181) есть уравнение равновесия стержня для случая, показанного на рис. 4.10. [c.170] Все слагаемые, входящие в скалярное произведение (4.197), имеют размерность работы (если использовать первоначальные уравнения равновесия до перехода к безразмерной форме записи). Потребуем, чтобы работа была равна нулю, т. е. [c.175] В результате получаем два уравнения (4.202), (4.203) для определения двух неизвестных ai и Ь[. [c.177] Принцип минимума потенциальной энергии. Один из наиболее распространенных приближенных методов решения задач статики упругих систем основан на принципе, утверждающем, что из всех возможных равновесных состояний, которые может принять упругая система под действием внешних статически приложенных сил, она принимает такое состояние равновесия, в котором ее потенциальная энергия имеет минимальное значение, т. е. [c.177] Для дальнейших преобразований важно, что потенциальная энергия системы есть однородная функция второй степени, а работа внешних сил — однородная функция первой степени. [c.178] Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие Ji = U—2А = т п является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Поэтому возникает необходимость в разработке методов приближенного решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, (4.217)], не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами. [c.180] Определив из (4.128) а/, получаем приближенное выражение для и. [c.180] Коэффициенты линейно зависят от множителя % ai = a,o v+aii. Подставив а,- в условие (4.222), находим множитель К, а затем получаем окончательные выражения для а,-. [c.181] Множители Лагранжа существенно расширяют класс аппроксимирующих функций, которые могут быть использованы при приближенных решениях с использованием принципа минимума потенциальной энергии. [c.182] Вернуться к основной статье