ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дифференциальная и интегральная формы уравнений динамики жидкости. Теорема Эйлера из "Аэродинамика Часть 1 " Прежде чем заниматься динамикой идеальной жидкости, сделаем несколько замечаний, имеющих общий характер, т. е. относящихся в равной мере как к идеальной, так и ко всякой другой жидкости. [c.267] Применяя К жидкости общие законы механики, следует сначала мысленно выделить из жидкой среды некоторую ее часть и заменить действие окружающей среды на выделенную часть соответствующими силами. При решении разных задач аэродинамики удобно бывает по-разному выделять из жидкой среды тот объем, к которому применяются законы механики. [c.267] Представим себе, что нам нужно вычислить распределение скоростей в потоке или распределение давлений по поверхности тела, находящегося в потоке. Так как скорость и давление являются функциями координат точки, то уравнения должны быть построены так, чтобы из них можно было определять эти величины как функции координат. Естественно здесь выделить в жидкости элементарный объем, записать для него уравнения динамики и перейти затем в этих уравнениях к пределу, стягивая выделенный объем к некоторой внутренней его точке. Под словом элементарный мы имеем здесь в виду такой объем, что (независимо от его действительной величины) можно пренебрегать в его пределах изменением скорости или плотности, т. е. рассматривать его как материальную точку ). [c.267] В результате предельного перехода получатся дифференциальные уравнения, в которые входят, в качестве неизвестных величин, скорости, нормальные или касательные напряжения. [c.267] Изложенный способ составления уравнений динамики жидкости можно назвать способом дифференциальных объемов. Положительным его качеством является то, что он доставляет исчерпывающие сведения относительно искомых величин (скорости, давления и т. д.), если удается проинтегрировать дифференциальные уравнения. Но этот способ имеет также существенный недостаток, который заключается в том, что дифференциальные уравнения в частных производных, получающиеся здесь (частных потому, что неизвестные величины суть функции, вообще говоря, трех координат и времени), обычно весьма трудны и далеко не всегда поддаются решению. [c.268] Другой недостаток способа дифференциальных объемов состоит в том, что искомые величины предполагаются непрерывными и даже дифференцируемыми. Однако на самом деле это далеко не всегда соответствует действительности. Например, в динамике сжимаемой жидкости мы увидим, что при обтекании тел потоком газа с большой скоростью в некоторых местах потока происходит разрывное изменение скоростей и давлений (скачки уплотнения). К этим местам способ дифференциальных объемов, разумеется, неприменим. [c.268] Теоремы механики в способе конечных объемов записываются обычно в виде уравнений, содержащих интегралы, и скорость входит при этом под знак интеграла. Поэтому небольшие изменения скорости,— в особенности тогда, когда в одной части области интегрирования они оказываются больше истинных, а в другой части—меньше истинных, — не отражаются сколько-нибудь значительно на результате. Это обстоятельство приводит к широкому применению способа конечных объемов при всякого рода приближенных определениях аэродинамических характеристик тел. Другим преимуществом этого способа по сравнению со способом дифференциальных объемов является то, что он применим и к областям разрыва скоростей, давлений и других величин. [c.269] лее часто применяется в способе конечных объемов теорема об изменении количества движения (теорема импульсов). Поэтому остановимся на ней несколько подробнее. Эта теорема, как известно, заключается в том, что изменение количества движения какой-либо материальной системы равно импульсу приложенных к ней сил. Так как выделенный в жидкости объем деформируется (разные частицы в нем имеют разные скорости) и, следовательно, конечная форма объема (по истечении промежутка времени й1) не совпадает с начальной, то возникает трудность при вычислении изменения количества двин ения необходимо знать не только начальные и конечные скорости разных частиц, но и конечную форму выделенного объема. Однако, если движение является установившимся, то, как было показано Эйлером, эту трудность можно очень просто обойти. [c.269] Выделим в жидкости произвольный объем V, ограниченный поверхностью 2. Будем рассматривать V как жидкий объем, т. е. объем, состоящий во все время движения из одних и тех же частиц жидкости. [c.269] Ограничивающая этот объем поверхность X есть жидкая поверхность, она перемещается вместе с находящимися на ней частицами и в силу этого деформируется. За время например, она переместится в положение И (фиг. 123), которое нетрудно построить, отложив от каждой точки поверхности вектор, равный концы этих векторов образуют поверхность 1. [c.270] Исходя из предположения о том, что жидкость идеальна, можно решать многие практические задачи, и в частности задачи, связанные с расчетом давлений, распределенных по поверхности удобообтекаемых тел. Однако, если ставится вопрос, например, о сопротивлении тела, то пользоваться гипотезой об идеальной жидкости нельзя, так как могут получиться ре ультаты, не соответствующие действительности. [c.271] Уравнения движения идеальной жидкости мы составим здесь в дифференциальной форме, т. е. выделим в жидкости элемент (размеры которого будем устремлять затем к нулю) и приравняем произведение массы этого элемента на его ускорение результирующей действующих на него сил. [c.271] Воььмем декартову прямоугольную систему координат и точку в жидкости в качестве исходной. Выделим обычным способом при точке жидкий элемент, который в соответствии с системой координат будет иметь форму прямоугольного параллелепипеда (фиг. 4). [c.271] Так как площадки были при этом ориентированы произвольно, то отсюда вытекает следующее свойство давлений в идеальной жидкости. Давление в любой точке потока идеальной жидкости одинаково для всех площадок, проходящих через эту точку, т. е., иными словами, не зависит от ориентировки площадки, на которую оно действует. [c.274] В сипу этого свойства можно во многих вопросах рассматривать давление в идеальной жидкости как величину скалярную, зависящую от координат точки и в емени. [c.274] Так как нет теперь надобности различать между собой давления по разным площадкам, то мы будем опускать в дальнейшем значок при р, указывающий ориентировку площадки. [c.274] Эти дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости называются уравнениями Эйлера. [c.274] Каждое слагаемое в уравнениях (2) представляет собой соответствующее ускорение. Левые части суть компоненты полного ускорения частицы, в правых частях фигурируют ускорения от объемных сил и ускорения от сил давления. Таким образом, эти уравнения выражают следующее соотношение между ускорениями полное з скорение частицы слагается из ускорения от объемных сил и ускорения от сил давления. [c.274] Вернуться к основной статье