ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие о функции комплексного переменного и о конформном преобразовании из "Аэродинамика Часть 1 " О методах Гаусса и Чебышева см. К р ы л о в А. П., Лекции о приближенных вычислениях. Издание Акаде. 1и г Наук СССР, 19. илп Б е-зикович Я. С., Приближенные вычисления. Гостехиздат 1948. [c.208] СКОГО вуза, ТО мы изложим здесь некоторые основные понятия ЭТОЙ теории, необходимые для дальнейшего ). [c.209] Тригонометрическая форма комплексного числа. Геометричб-скоР изображ ние модуля г и аргумента 6. [c.210] Значения переменной 2 геометрически изобразятся совокупностью точек на плоскости ху. Эта плоскость называется плоскостью комплексного переменного, ось х — вещественной осью, а ось у — мнимой осью. [c.211] Пределом комплексной переменной 2 называется такое постоянное комплексное число с, что модуль разности 2 — с, начиная с некоторого значения 2, становится и затем остается меньше любого, наперед заданного, положительного числа Геометри-ческ и это означает, что, начиная с некоторого значения 2, все дальнейшие его значения соответствуют на плоскости комплексного переменного таким точкам, которые находятся внутри окружности с центром в точке с и произвольно малым радиусом г. [c.211] Оба эти равенства заключены в предыдущем [ю = f (г)] можно определить вид функций Д и /з, если отделить в обеих частях предыдущего равенства вещественную и мнимую части и соответственно нри]1авнять друг другу. Если, напрпмер, 1и = г , то, отделяя вещественную и мнимую части, получаем и= х — у . [c.211] Важнейшнм понятием теории функци комплексного переменного является понятие о производной фз нкции. [c.211] Если функция f (г) сдноаначна, непрерывна и дифференцируема в каждой точке некоторой области (т. е. имеет в ка кдой точке этой области конечную производную), то такую функцию называют регулярно , илп аналитической в этой области. [c.212] Известные из математики правила дифференцирования функций вещественного переменного распространяются без изменения на аналитические фун ции комплексного переменного. [c.212] Преобразование элементарной области, окружающей точк у z. осуществляемое регулярной функцией га = / (г), заключается, таким образом, в том, что эта область растягивается или сжимается одинаково во всех направлениях, исходящих из точки z, и поворачивается на некоторый угол. [c.213] Эти уравнения называются уравнениями Коши-Римана. Таким образом, вещественная и мнимая части всякой регулярной функции комплексного переменного должны удовлетворять уравнениям Коши-Римана. Мог-кно доказать и обратное утверждение если и ж V з довлетворяют уравнениям Коши-Римана, то они представляют собою соответственно вещественную и мнимую части некоторой регулярной функции комплексного переменного. Следовательно, уравнения Коши-Римана являются необходимым и достаточным условием регулярности функции f(z)=u- -i . Это обстоятельство является, как увидим в следующем параграфе, основой для применения функций комплексного переменного к исследованию плоского потенциального потока несжимаемой жидкости. [c.214] Таким образом, вещественная и мнимая части всякой регулярной функции комплексного переменного удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. являются гармоническими функциями. Две гармонические функции, связанные уравнениями Коши-Римана, называются сопряженными гармоническими функциями. [c.215] Вернемся теперь к отмеченному выше свойству преобразования, осуществляемого регулярной функцией = /(2). Окрестность каждой точки, находящейся внутри области, в которой задана /(г), претерпевает при переходе на плоскость п) всестороннее растяжение или сжатие, величина которого определяется модулем /Ч ), и поворот на угол, равный аргументу / (г). Отсюда следует, что если провести на плоскости 2 через какую-либо точку, в которой / (2) ф О, две кривых, то угол между касательными к этим кривым в точке их пересечения сохранится при переходе на плоскость го, так как каждая касательная при этом повернется на один и тот же угол в одном и том же направлении. Направление отсчета углов при этом также сохранится. Преобразование, сохраняющее углы по величине и направлению отсчета, называется конформным преоб азованием. Итак, можно сказать, что всякая регулярная функция комплекв-ного переменного осуществляет во всех точках, где / (г) 0, конформное преобразование плоскости 2 на плоскость и . Разумеется, коэффициент линейного растяжения или сжатия и угол поворота, вообще говоря, различны для разных точек плоскости 2. Поэтому конформное преобразование можно охарактеризовать как обобщенное преобразование подобия (иными словами, как преобразование, сохраняющее подобие бесконечно малых элементов). [c.215] Потенциал скоростей и функция тока являются, следовательно, в этом случае гармоническими функциями. [c.216] В 6 было доказано, что линии тока ортогональны к поверхностям равного потенциала. Следовательно, в случае плоского потока линии тока ортогональны к линиям равного потенциала. Эти два семейства взаимно ортогональных линий образуют сетку в плоскости движения, как показано на фиг. 91. [c.216] В случае установившегося двингепия жидкость течет по линиям тока линии равного потенциала в этом случае являются линиями, вдоль которых никакого движения жидкости не происходит. [c.216] Вернуться к основной статье