ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно Задачи на равновесие тела под действием пространственной системы сил из "Краткий курс теоретической механики 1970 " Уравнения (66) выражают одновременно необходимые условия равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием любой пространственной системы силы. При этом первые три равенства выражают необходимые условия того, чтобы тело не имело перемещений вдоль координатных осей, а последние три являются условиями отсутствия вращений вокруг этих осей. [c.117] Остальные равенства обратятся при этом в тождества вида 0 = 0. [c.118] Следовательно, для равновесия пространственной системы, параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось, параллельную силам, и суммы их моментов относительно двух других координатных осей были равны нулю. [c.118] и приводящаяся к равнодействующей Л, линия действия которой проходит через некоторую точку С (рис. 118). Приложим в этой точке силу —К. Тогда система сил Ру, Р , Р , Ц будет находиться в равновесии и для нее будут выполняться все условия (66). [c.118] Следовательно, если данная система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же оси (теорема Вариньона). [c.118] Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были к ним перпендикулярны (если это только излишне не усложняет вычисления проекций и моментов других сил). [c.119] Новым элементом в составлении уравнений является вычисление моментов сил относительно осей координат. [c.119] В случаях, когда из общего чертежа трудно услютреть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную к этой оси. [c.119] В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно-перпендикулярные составляющие (из которых одна параллельна какой-нибудь координатной оси), а затем воспользоваться теоремой Вариньона. Кроме того, можно вычислять моменты аналитически по формулам (52). [c.119] Задача 43. При подъеме однородной прямоугольной плиты с размерами сторон а II Ь (рис. 119) один из рабочих удерживает ее за угол А. [c.119] В каких точках В О должны поддерживать плиту двое других рабочих, чтобы силы, прикладываемые каждым из удерживающих плиту, были одинаковы. [c.119] Решение. В рассматриваемой задаче при равномерном вращении вала действующие на него силы находятся в равновесии. Составим условия равновесия этих сил. Проводим оси координат (см. чертеж) и, считая вал свободным, изображаем действующие на него силы натяжение веревки Р, по модулю равное Р, натяжения ремня Т,, Тг и реакции подшипников Кд, 2 , Кд (каждая из реакций и Лд может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси л , и изображается поэтому двумя составляющими). [c.120] Из уравнений (111) и (IV) находим сразу, учитывая, что Ti=2T/. [c.121] Задача 45. Прямоугольная кришка весом Р= 12 кГ, образующая с вертикалью угол а = 60°, закреплена па горизонтальной оси АВ в точке В цилиндрическим подшипником, а в точке А—подшипником с упором (рис. 121). Крышка удерживается в равновесии веревкой ОЕ и оттягивается перекинутой через блок О нитью с грузом весом 0 = 20 кГ на конце (линия КО параллельна АВ). Цано. ВО = ВЕ, АК—а =0,4 м, ЛВ = = 1 л . Определить натяжение веревки ОЕ и реакции подшипников А и В. [c.121] Решение. Рассмотрим равновесие крышки, отбрасывая связи и считая ее свободной. Проводим оси координат, беря начало в точке В (при этом сила Т пересечет оси у п г, что упрощает вид уравнений моментов), и изображаем действующие силы и реакции связей (см. чертеж показанный пунктиром вектор М к данной задаче не относится). Для составления условий равновесия вычисляем величины проекций и моментов всех сил при этом вводим угол р и обозначаем ВО = ВЕ= с1 (см. таблицу). Подсчет моментов некоторых сил пояснен вспомогательными чертежами (рис. 122, а и Ь). [c.122] Задача 46. Решить задачу 45 для случая, когда на крышку дополнительно действует расположенная в ее плоскости пара с моментом Л1 = 12 кГм, поворот пары направлен (если смотреть на крышку сверху) против хода часовой стрелки. [c.123] Заметим, что этот же результат можно получить, не состав.тяя уравнения в виде (67), а изобразив пару двумя силами, направленными, например, вдоль лнний АВ и КО (при этом модули сил будут, очевидно, равны М/е) и поль-зунсь затем обычными условиями равновесия. [c.123] Решение. Рассмотрим равновесие стержня, отбрасывая связи и считая его свободным. На стержень действуют сила Р и реакции Tj , Т , Х , Кд, Zjx. Проводим оси координат и вычисляем проекции и моменты всех сил (см. таблицу). [c.124] Решая эту систему уравнений, найдем окончательно с 55,4 кГ 58,8 кГ —9,8 кГ Уд = 70,5 кГ 2д = —12 кГ. Составляющие Хд и таким образом, направления, противоположные показанным на чертеже. [c.125] Задача 48. Горизонтальная плита АВС, имеющая форму равностороннего треугольника со стороной а, закреплена с помощью шести стержней так, как показано на рис. 124 при этом каждый из наклонных стержней образует с плоскостью горизонта угол а = 30°. [c.125] Вернуться к основной статье