ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Заполнение зон электронами. Металлы, диэлектрики, полупроводники из "Физика твердого тела " Блохом было доказано, что волновые функции, являющиеся решениями одноэлектронного уравнения Шредингера с периодическим потенциалом, имеющим период решетки, представляют собой плоские волны, модулированные некоторой функцией с периодичностью решетки, т. е. [c.215] Действительно, С os kn- - sin kn p= os kn- -s v kn—. [c.215] Нахождение зависимости (к) является одной из важнейших задач физики твердого тела. [c.216] Если на электрон никакие силы не действуют, то его энергия остается постоянной ( (к) — onst). Это означает, что не меняется к и остается постоянным импульс р. По существу,. это есть законы сохранения энергии и импульса. [c.217] На электрон, движущийся в кристалле, всегда действует периодическое поле решетки. Энергия этого взаимодействия является периодической функцией координат. Следовательно, энергия и импульс электрона в кристалле изменяются со временем под действием этого поля, т. е. не сохраняются. [c.217] Чтобы подчеркнуть сходство и одновременно отметить отличие фигурирующей в (7.37) величины hk от истинного импульса, эту величину называют квазиимпульсом электрона. [c.217] Это означает, что энергия электрона должна быть функцией квазиимпульса. [c.217] С другой стороны, ясно и то, что между оператором квазиимпульса Р и оператором импульса /5 должна быть связь. Предположим, что потенциальная энергия решетки становится некоторой константой, т. е. VV- 0. В этом случае квазиимпульс тождественно переходит в импульс. [c.218] Если VV (r)- 0, то t/jjr) в функции Блоха (7.22) стремится к некоторой константе. При этом - 0 и квазиимпульс тождественно обращается в обычный импульс. [c.218] Если в к-пространстве (или в Р-пространстве) построить обратную решетку, растянутую в 2л раз, т. е. решетку с векторами 2ла, 2лЬ, 2яс (или 2я Йа, 2лЙЬ, 2яйс ), то все к (или Р-1-про-странство можно разделить на области, в которых имеются физически эквивалентные состояния. Эти области называют зонами Бриллюэна. Многогранник минимального объема, построенный вокруг начала координат в к (или Р-)-пространстве, содержащий все возможные различные состояния, называют первой, или основной, зоной Бриллюэна. С помощью векторов обратной решетки любую точку к (или Р )-пространства можно перевести в первую зону Бриллюэна. [c.219] Первая зона Бриллюэна представляет собой элементарную ячейку Вигнера — Зейтца для обратной решетки, растянутой в 2я раз. Для определения вида первой зоны Бриллюэна нужно по-строить обратную решетку с параметрами ячейки 2яа, 2яЬ, 2лс и построить в ней ячейку Вигнера — Зейтца, пользуясь правилами, описанными в гл. 1. [c.219] Любой реальный кристалл является ограниченным. Эта ограниченность приводит к тому, что волновой вектор электрона может принимать только дискретный ряд значений. Для того чтобы подсчитать число допустимых значений к в зоне Бриллюэна, необходимо учесть граничные условия. Аналогично тому, как это было сделано в гл. 5, при расчете.числа собственных колебаний одномерной цепочки атомов, воспользуемся циклическими граничными условиями Борна — Кармана. [c.220] Таким образом, действительно, волновой вектор электрона изменяется не непрерывно, а дискретно. [c.221] Поскольку каждому разрешенному значению к соответствует разрешенный уровень энергии и на каждом уровне в силу принципа Паули может располагаться два электрона с противоположно направленными спинами, число электронов в разрешенной зоне не может превышать 2N. [c.222] Здесь п — любое число (О, 1, 2,. . .). [c.223] На рис. 7.4 изображена зависимость левой части уравнения (7.75) от параметра аа. Поскольку oska, стоящий в правой части уравнения (7.75), может принимать значения только в интервале от 4-1 до —1, то допустимыми значениями аа являются такие, для которых левая часть уравнения не выходит из указанных пределов. На рис. 7.4 интервалы разрешенных значений аа заштрихованы. Ширина этих интервалов зависит от параметра Р. Чем меньше Р, тем они шире. Кроме того, их ширина зависит и от аа. При любом фиксированном значении Р эти интервалы расширяются с увеличением аа. В силу соотношения (7.66) между а и энергией электрона Е сказанное относится и к энергии. Таким образом, энергия электрона в кристалле не может принимать любого значения. Есть зоны разрешенных и зоны запрещенных энергий. Чередование разрешенных и запрещенных зон иллюстрируют рис. 7.5. [c.225] Как и следовало ожидать, последнее выражение совпадает с зависимостью E k) для свободного электрона (7.36). Поскольку на k в этом случае никаких ограничений не накладывается, кривая E k) представляет собой непрерывную параболу. [c.226] Таким образом, при Р оо система энергетических зон вырождается в дискретные уровни. [c.226] Первый член в (7.83) представляет собой энергию Af-ro энергетического уровня электрона в изолированной бесконечно глубокой потенциальной яме, определяемую формулой (7.78). Второй и третий члены связаны с действием периодического поля решетки. [c.227] Все возможные значения энергии в каждой энергетической зоне можно получить путем изменения k в пределах первой зоны Бриллюэна. Поэтому зависимость E k) часто строят только для первой зоны Бриллюэна. Все остальные значения Е могут быть приведены в эту зону. Такой способ изображения E k), иллюстрируемый рис. 7.7, получил название схемы приведенных зон. В отличие от него зависимость, показанную на рис. 7.6, называют периодической зонной схемой. [c.227] Вернуться к основной статье