ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Диффузия в твердых телах из "Физика твердого тела " В самом начале этой главы мы говорили о том, что количественный анализ колебаний атомов реального трехмерного твердого тела представляет исключительно сложную задачу. Для того чтобы понять общие свойства нормальных мод в таком теле, мы предварительно рассмотрели задачу о колебаниях атомов линейной цепочки. Теперь используем результаты этого рассмотрения для качественного описания колебаний атомов трехмерной решетки. [c.158] Подставляя решение (5.61) в систему ЗуУ уравнений движения, получают систему однородных уравнений относительно амплитуд Л/г, которая имеет нетривиальные решения, если детерминант,, составленный из коэффициентов, при неизвестных А-г равен нулю. Последний оказывается полиномом третьей степени относительно и имеет в общем случае три корня, которые должны быть действительными и положительными. Отрицательные значения, если атомы находились в исходном состоянии в равновесии, не имеют смысла. [c.159] Одна из трех мод L соответствует продольной волне, а две другие Г и — поперечным волнам. В изотропной среде решения выбирают таким образом, чтобы вектор поляризации v(k) и смещения атомов были параллельны вектору к для продольной во -иы и перпендикулярны ему для поперечных волн. [c.159] Для нахождения интервала изменения и определения числа допустимых значений волновых векторов к снова воспользуемся условием цикличности Борна — Кармана, для чего для простоты предположим, что кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами Mia.2, где ai = a, ао = Ь, аз=с — векторы прямой решетки, а Л ь No, л з — большие целые числа. [c.159] Очевидно, что число допустимых значений в интервале (5.67), удовлетворяющих условию (5.64), равно числу элементарных ячеек N в кристалле, при этом разрешенные значения к равномерно распределены в -пространстве с плотностью V/(2n) . [c.160] колебания сильно связанных между собой атомов кристаллической решетки мы свели к совокупности слабо связанных волн с волновым вектором к и частотой м(к, s), распространяющихся во всем объеме кристалла. Каждой волне мы сопоставили осциллятор, колеблющийся с частотой ш(к, s). [c.161] Процессы, происходящие в твердых телах, связанные с колебаниями атомов кристаллической решетки, выглядят особенно просто, если обратиться к одному из самых фундаментальных обобщений квантовой механики. В основе этого обобщения лежит идея французского физика Луи де Бройля о том, что каждой волне с частотой со и волновым вектором к можно сопоставить частицу с энергией E—Htd и импульсом p = ftk. Так, световые (электромагнитные) волны можно рассматривать как квантовые осцилляторы излучения или считать, что они состоят и частиц — квантов, называемых фотонами. Каждый фотон имеет энергию Й.0). Аналогично, если обратиться к формуле (5.70) для энергии квантового осциллятора, то звуковую волну с волновым вектором к и поляризацией s можно рассматривать как совокупность ге(к, s) квантов с энергией Йсо(к, s) каждый и плюс энергия основного состояния /2Й в(к, s). Эти кванты (или частицы звука) звуковой волны называют фононами. Величина ft. o(k, ь), очевидно, представляет собой наименьшую порцию энергии возбуждения над основным уровнем АЛ (к, s). Так как фонон несет наименьшую энергию, его рассматривают как элементарное возбуждение. Сложное возбуждение есть просто возбуждение, содержащее много фононов. Коллективные движения атомов в кристалле представляют собой звуковые волны, а соответствующие им возбуждения — кванты звука, или фононы. [c.161] Это выражение определяет также распределение фононов. подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна. [c.162] Таким образом, среднее число фононов в одной ячейке фазового пространства объемом (2лй) с энергией Йсо(к, s) определяется выражением (5.73). [c.162] В твердом теле возможны как акустические, так и оптические фононы. Поскольку частота колебаний оптических фононов всегда вьше частоты колебаний акустических фононов, то энергия оптических фононов выше энергии акустических. Поэтому при очень низких температурах возбуждаются только акустические фононы. [c.162] Введение понятия фононов позволяет во многих случаях рассматривать любое твердом тело как ящик, в котором заключен газ фононов. Фононы, как частицы обычного газа, движутся от стенки к стенке такого ящика, сталкиваются друг с другом, в результате взаимодействия фононы могут рождаться и исчезать. Газ фононов — это не обычный газ. Число фононов в твердом теле не постоянно. Фононов тем больше, чем выше температура, а при приближении к нулю их число также стремится к нулю. [c.162] Закон Дюлонга и Пти. Атомы в твердом теле при любой температуре Т совершают тепловые колебания около своих средних положений равновесия. Если нагревать твердое тело, то поглощаемая им теплота расходуется на увеличение интенсивности теплового движения. Можно показать, что амплитуда колебаний атомов при умеренно высоких температурах растет пропорционально T /j. [c.163] Объяснение этому поразительному факту можно найти в рамках классической физики, если исходить из известного закона равномерного распределения энергии по степеням свободы. Если на каждую степень свободы системы приходится энергия, равная kT 12 (где А = 1,3807-10-23 Дж-К — постоянная Больцмана), то в соответствии с этим законом средняя энергия такой системы равна произведению числа степеней свободы на кТ/2. Этот результат, справедливый для идеальных газов, можно распространить на системы частиц, взаимодействующих между собой в том случае, когда силы взаимодействия гармонические, т. е. подчиняются закону Гука. [c.164] В этом случае в качестве модели можно выбрать твердое тело, атомы которого совершают малые колебания около положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Каждый атом независимо от соседей колеблется в трех взаимно перпендикулярных направлениях, т. е. имеет три независимые колебательные степени свободы. Как мы видели в предыдущей главе, такой атом можно уподобить совокупности трех линейных гармонических осцилляторов. При колебаниях осциллятора происходит последовательное преобразование кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую. Поскольку средняя кинетическая энергия, составляющая квТ/2 на одну степень свободы, остается неизменной, а средняя потенциальная энергия точно равна средней кинетической, то средняя полная энергия осциллятора, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, составляет ksTi. [c.164] Теория теплоемкости Эйнштей-на. Хорошее совпадение экспери- 15 ментальных и теоретических, д данных имеет место лишь при достаточно высоких температурах. Оказалось, что при низких о 4од Тк температурах наблюдаются отклонения от закона Дюлонга и Зависимость теплоемкости Пти и температурная зависимость температуры теплоемкостей твердых тел в широком интервале, включая низкие температуры, имеет вид, показанный на рис. 6.1. Как видно из рис. 6.1, теплоемкость при низких температурах не является постоянной величиной, а увеличивается с ростом температуры от нуля до значения, определяемого законом Дюлонга и Пти. Для объяснения такой зависимости теплоемкости от температуры классических представлений оказывается уже недостаточно, а необходимо привлекать предсгавлеиия квантовой статистики. [c.165] Для определения зависимости теплоемкости от температуры Т необходимо знать, как зависит от температуры тепловая энергия твердого тела. Задача, следовательно, сводится к тому, чтобы вычислить среднюю энергию колебаний атома по одному из трех взаимно перпендикулярных направлений. Помножив результат на число атомов и на 3 (соответственно трем слагающим движения), МЫ получим полную тепловую энергию. Формула для определения среднего значения энергии линейного гармонического осциллятора была выведена еще Планком, который считал, что в тепловом равновесии состояния с тем или иным значенпем энергии встречаются с относительной вероятностью, определяемой фактором Больцмана и в расчет долл ны приниматься не все энергии, а лишь дискретные значения энергии вида п (п — 0, 1, 2, 3.). [c.166] Этим выражением для средней энергии квантового осциллятора, без вывода, мы уже пользовались в гл. 5 для подсчета среднего числа фононов (к, s) с энергией Й.(о(к, s), соответствующих в данной моде колебаний температуре Т. [c.167] Рассмотрим два предельных случая. [c.167] Вернуться к основной статье