ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Работа из "Курс теоретической механики " Пусть точка М массы т движется по некоторой кривой под действием силы F (рис. 286). Построим вектор / о, изображаюпщй момент силы F относительно начала координат О. [c.402] В 44 мы видели, что момент силы Р относительно точки О можно представить в виде векторного произведения радиуса-вектора г точки М на эту силу, т. е. [c.403] Совершенно так же мы можем построить вектор 1о, изображающий момент количества движения тг относительно точки О. [c.403] Этот вектор перпендикулярен к плоскости треугольника, который получим, соединяя начало и конец вектора ти с точкой О, и по модулю равен удвоенной площади этого треугольника, причем, смотря с конца вектора 1о на этот треугольник, мы должны видеть вектор то направленным против часовой стрелки относительно точки О. [c.403] Момент количества движения относительно точки О мы можем представить так же, как и момент силы, в виде векторного произведения радиуса-вектора г на вектор то, т. е. [c.403] Между моментом количества движения тс относительно данной точки О и моментом относительно какой-нибудь оси, проходящей через эту точку, существует такая же зависимость, как и между теми же моментами силы Р. Поэтому проекции вектора 1о па координатные оси равны моментам количества движения относительно этих осей, т. е. [c.403] Теорема, доказательство которой мы сейчас изложим, выражает зависимость между векторами то (тс) и то (Р). [c.404] Эти уравнения выражают теорему о моменте количества движения в координатной форме производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-нибудь неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси. [c.405] Отметим два следствия доказанной теоремы. [c.405] Отсюда также следует, что под действием центральной силы точка описывает всегда плоскую траекторию, плоскость которой проходит через центр этой силы ). [c.406] Пример 109. Планета в своем движении вокруг Солнца описывает 8ЛЛИПС, в одном из фокусов которого S находится Солнце (рис. 287). Пусть скорость планеты, когда она находится в ближайшей к Солнцу вершине В эллипса, равна v требуется найти скорость 2 планеты в противоположной вершине эллипса А. [c.406] Работа считается положительной, если направление силы Р совпадает с направлением движения точки. Если же сила направлена в сторону, противоположную движению точки, то работа считается отрицательной и будет равна — Рз. [c.407] Для того чтобы вычислить этот интеграл, модуль силы F нужно выразить как функцию переменного s. В качестве примера вычисления работы переменной силы решим следующую задачу. [c.408] Предел этой суммы равен площади криволинейной фигуры ОВСА, и, следовательно, работа па пути 5 будет численно выражаться площадью ОВСА. [c.409] Если угол ф острый, как на рис. 291, то элементарная работа положительна. Если же этот угол тупой (в этом случае касательная сила Ft направлена, очевидно, противоположно скорости г), то эта работа отрицательна. [c.410] Таким образом, работа силы на конечном пути выражается криволинейным интегралом, взятым вдоль соответствующей дуги траектории, которую описывает точка приложения силы. [c.410] Если сила во есе время движения перпендикулярна к направлению скорости ее точки приложения, то работа этой силы равна нулю, так как в этом случае ф = 90° и os ф = 0. Так, например, при движении материальной точки по горизонтальной плоскости работа силы тяжести, действующей на эту точку, равна нулю. [c.410] Этой формулой для вычисления работы можно пользоваться в том случае, когда скорость точки приложения силы, а также модуль и направление силы известны для любого момента t (т. е. определены как функции от t). Выражение Fv os ф dt, стоящее под интегралом, представляет собой, очевидно, элементарную работу силы F за время dt. [c.411] Здесь ах, ау и аг представляют собой дифференциалы координат точки приложения силы, т. е. [c.412] Полученным аналитическим выражением (32) для элементарной работы часто пользуются при вычислении работы силы на криволинейном пути. [c.412] Вернуться к основной статье