ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие о кривизне кривой линии и о радиусе кривизны Естественные оси из "Курс теоретической механики " Криволинейное движение точки, как известно из 64, может быть онределено или уравнениями движения в декартовых координатах, или траекторией и законом движения s = f t) по этой траектории. В том случае, когда движение точки определено первым способом, ускорение w находится по его проекциям на декартовы координатные оси, как это рассмотрено в предыдущем параграфе. Когда же движение точки определено вторым способом, ускорение W находится по его проекциям на оси, нанравления которых связаны с данной траекторией, а именно на касательную к траектории, главную нормаль и бинормаль. Но, прежде чем переходить к выводу формул для проекций ускорения на эти оси, необходимо рассмотреть некоторые геометрические понятия. [c.261] Для прямой линии кривизна, очевидно, равна нулю и, следовательно, радиус кривизны р = со. [c.262] Отсюда заключаем, что радиус кривизны кривой линии есть радиус такой окружности, которая имеет с данной кривой в данной ее точке одинаковую кривизну. [c.262] В общем случае тр аектория движущейся точки М представляет собой кривую линию, не лежащую в одной плоскости, т. е. линию двоякой кривизны. [c.263] Положение точки М на траектории будем определять дуговой координатой 5, отсчитываемой от произвольно выбранной на траектории неподвижной точки О. [c.263] Проведем через точку М касательную М1 к траектории и будем определять положительное направление этой касательной единичным вектором т, направленным по касательной в сторону возрастания дуговой координаты 5 и равным но модулю 1 (рис. 187) этот вектор т называется ортом касательной. Если проведем через точку М плоскость, перпендикулярную к касательной в этой точке, то такая плос- кость называется нормальной плоскостью. о Всякая прямая, проведенная через точ-ку М в нормальной плоскости, перпендикулярна к касательной М1 и является нормалью траектории в точке М. Выясним теперь, какая из этих нормалей называется главной нормалью траектории в точке М. Для этого поступим следующим образом возьмем на траектории точку М, весьма близкую к точке М (рис. 187) орт касательной в точке М обозначим через т проведем через точку М прямую М1, параллельную вектору т, и построим плоскость, проходящую через две прямые М1 и М1. Будем теперь точку М неограниченно приближать к точке М так, чтобы в пределе точка М совпала с точкой М так как направление вектора т, а следовательно, и направление прямой М1 , параллельной этому вектору, будет при этом изменяться, то соответственно будет изменяться и положение плоскости гМг эта плоскость будет, очевидно, вращаться вокруг прямой Мг, приближаясь к некоторому определенному предельному положению. Плоскость, представляющая собой предельное положение плоскости 1М1 при М — М, называется соприкасающейся плоскостью данной кривой в точке М. Из этого определения следует, что касательная в точке М лежит в соприкасающейся плоскости. Понятно, что в случае плоской траектории соприкасающаяся плоскость совпадает с той плоскостью, в которой расположена эта траектория. [c.263] Три оси, имеющие начало в точке М и направленные по касательной, главной нормали и бинормали траектории в этой точке, называются естественными осями и являются ребрами так называемого естественного триэдра, или естественного трехгранника (рис. 188). [c.264] Отложим на главной нормали в положительном направлении (в сторону вогнутости траектории) отрезок МС = р, где р — радиус кривизны траектории в точке М если, приняв точку С за центр, проведем в соприкасающейся плоскости окружность радиусом р, то эта окружность, имеющая с данной кривой в точке М общую касательную и общую кривизну, называется соприкасающимся кругом или кругом кривизны. Центр С этой окружности называется центром кривизны данной кривой, соответствующим точке М. [c.264] Вернуться к основной статье