ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение общих формул к вычислению координат центра тяжести из "Курс теоретической механики " Теорема 1. Площадь поверхности, полученной вращением некоторой плоской линии вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и ее не пересекающей, равна длине этой линии, умноженной на длину окружности, описанной ее центром тяжести. [c.207] Доказательство. Представим себе поверхность, полученную вращением дуги АВ некоторой плоской кривой линии вокруг оси Оу (рис. 138). Пусть центр тяжести этой дуги находится в точке С обозначим его абсциссу через хс. [c.207] Доказанные теоремы позволяют иногда весьма просто находить положение центра тяжести плоской линии или плоской фигуры, а такн1е определять поверхность и объем тел вращения. [c.209] Рассмотрим следующие примеры. [c.209] Искомый центр тяжести С лежит на оси симметрии данного сектора, т. е. на биссектрисе угла АОВ. Остается найти расстояние ОС. Разделим дугу Л 5 на большое число п весьма малых равных частей и точки деления соединим с центром О. Тогда данный сектор разделится на п равных элементарных секторов рассмотрим один из таких секторов ОаЬ. Ввиду малости дуги аЬ этот сектор можно принять за равнобедренный треугольник следовательно, его центр тяжести лежит на угол аОЬ пополам, на расстоянии /д В сюда заключаем, что центры тяжести всех элементарных секторов расположены на дуге А В радиуса ОА = В на равных расстояниях друг от друга. В этих центрах приложены равные веса элементарных секторов. [c.213] Этот вывод, а следовательно, и результат остаются, очевидно, верными и для какого угодно однородного цилиндра. [c.214] Но если прямые А А и МК параллельны, то треугольники А СА и ИСК подобны. [c.215] центр тяжести однородной пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести ее основания, на расстоянии /4 этого отрезка от центра тяжести основания пирамиды. [c.215] Этот результат, полученный для тетраэдра, нетрудно распространить и на однородную многоугольную пирамиду, так как данную многоугольную пирамиду можно разбить на тетраэдры плоскостями, проведенными через вершину пирамиды и диагонали многоугольника, являющегося ее основанием. [c.215] Рассматривая конус как предел вписанных в него пирамид, на основании предыдущего результата приходим к заключению, что центр тяжести однородного конуса лежит на отрезке, соединяющем вершину конуса с центром тяжести его основания, на расстоянии /4 этого отрезка от вершины конуса. [c.215] Часто применяемый метод определения центра тяжести тела сложной геометрической формы состоит в том, что данное тело разбивают, если это возможно, на такие части простейшей формы, центры тяжести которых легко могут быть найдены на основании сказанного в предыдущем параграфе. [c.215] Знаменатель этих формул 2 V выражает, понятно, объем всего данного тела. [c.216] В тех случаях, когда нужно найти центр тяжести однородной плоской фигуры или линии, в предыдущих формулах следует вместо объемов V брать соответственно площади 5 или длины 1 тех простейпшх по форме частей, на которые разбивается данная сложная фигура или данная линия. [c.216] Этот способ мы применяли уже в предыдущем параграфе при нахождении центра тяжести многоугольника. [c.216] Пример 52. Найти центр тяжести фигуры, состоящей из полукруга радиуса В и прямоугольника со сторонами 2Д и Л (рис. 148). [c.216] Пример 53. Определить положение центра тяжести г-образной фигуры, размеры которой указаны на рис. 149. [c.217] Если в данном теле или данной плоской фигуре имеются вырезанные части (полости или отверстия), то для определения центра тяжести такого тела или такой фигуры пользуются теми же приемами и теми же самыми формулами, как и в предыдущих примерах, но только площади или объемы вырезанных (отнятых) частей нужно считать отрицательными, т. е. брать их в этих формулах со знаком минус. [c.218] П р и м е р 55. Определить положение центра тяжести фигуры, представляющей собой круг радиуса Л, из которого вырезан круг меньшего радиуса г расстояние между центрами кругов 00 = а (рис. 151). [c.218] Пример 56. Найти центр тяжести фигуры АВВЕ, представляющей собой трапецию, из которой вырезан полукруг с центром в точке О и с диаметром, равным АВ, если АЕ = а] ВВ = 6 и АВ = Л (рис. 152). [c.218] Вернуться к основной статье