ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Влияние на устойчивость равновесия неконсервативных позиционных сил из "Введение в теорию устойчивости движения " Здесь Р — кососимметричная матрица, Z — матрица-столбец, элементы которой содержат 2,. и в степени вынго первой, причем они обращаются в нуль, когда все Z/,- и Z,,- равны нулю. [c.192] Таким образом, среди корней характеристического уравнения (6.106) имеются корни с положительной вещественной частью. Это доказывает теорему. [c.192] В этой теореме предполагалось, что неконсервативные позиционные силы линейны. Кроме того, не учитывались силы сопротивления, которые практически существуют почти во всех системах. Поэтому рассмотрим теперь случай произвольных неконсервативных позиционных сил, считая, что сила R (д) обращается в нуль при q == О и что эта точка равновесия изолирована, т. е. [c.193] Кроме того, будем считать, что на систему действуют линейные диссипативные силы и возмущенное двия ение описывается уравнением (6.50). [c.193] Примечание 1. Для доказательства не требуется полная диссипация, поэтому теорема остается справедливой и при отсутствии сил сопротивления. [c.194] Наполгиим, что для устойчивой потенциальной системы коэффициенты устойчивости равны квадратам частот собственных колебаний. [c.198] Теорема 3. Если в устойчивую потенциальную систему с равными собственными частотами вводятся линейные неконсервативные силы, то устойчивость будет разрушена вне зависимости от нелинейных членов [881. [c.198] Наличие корней с положительной вещественной частью служит доказательством теоремы. [c.198] Перейдем к рассмотрению устойчивости равновесия систем, находящихся под действием произвольных потенциальных и неконсервативных позиционных сил и линейных диссипативных сил с положительным сопротивлением, считая, что возмущенное движение определяется уравнением (6.50). [c.198] Пользуясь этими равенствами, докажем теоремы, определяющие необходимые условия устойчивости движения. [c.200] Теорема 5. Если ускоряющие силы доминируют над диссипативными, то система будет неустойчива при любых других линейных и нелинейных силах. [c.200] Теорема 6. При отсутствии нелинейных членов (Z == 0) асимптотическую устойчивость нельзя осуществить без диссипативных сил. [c.201] Доказательство. При отсутствии диссипативных сил ij = О и, следовательно, не выполнен критерий Гурвица, необходимый для асимптотической устойчивости линейной автономной системы. [c.201] Теорема 7. Если определитель i = С - г Р отрицателен, то система неустойчива при любых гироскопических, диссипативных и ускоряющих силах и вне зависимости от нелинейных членов Z. [c.201] Доказательство. В условиях теоремы коэффициент а характеристического уравнения (6.127) отрицателен (см. второе равенство (6.128)). Из этого следует, что хотя бы 0Д1ТИ корень уравнения (6.127) имеет положительную ве-iri e TBeiinyio часть. Это доказывает теорему. [c.201] Вернуться к основной статье